Gedächtnislosigkeit und Geometrische Verteilung

11.05.2018, 22:12	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Gedächtnislosigkeit und Geometrische Verteilung Hi Leute, ich will zeigen, dass gilt: X (ZV) geom. verteilt --> X gedächtnislos , also $\begin{eqnarray} \forall k,l \in \mathbb{N}_0:\mathbb{P}(X\geq k+l\|X\geq k)=\mathbb{P}(X\geq l) \end{eqnarray}$ . Wenn ich das in die Definition für Bedingte Wkeit bzw. der Geometrischen Verteilung einsetze erhalte ich für den linken Teil (1-p)^l. Für den rechten aber (1-p)^(l-1). Mache ich etwas falsch? Da müsste doch das Selbe rauskommen? Danke für die Hilfe im Voraus
12.05.2018, 00:11	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi manuel, also bei mir ist tatsächlich auch $\begin{eqnarray} P(X\geq k+l \,\vert\,X\geq k) = \frac{P(X\geq k+l)}{P(X\geq k)} = \frac{\sum_{\nu=k+l}^\infty p(1-p)^{\nu-1}}{\sum_{\nu=k}^\infty p(1-p)^{\nu-1}} = \frac{1-\sum_{\nu=1}^{k+l-1}p(1-p)^{\nu-1}}{1-\sum_{\nu=1}^{k-1}p(1-p)^{\nu-1}}=\frac{ 1-p\frac{1-(1-p)^{k+l-1}}{p} }{1-p\frac{1-(1-p)^{k-1}}{p} }=(1-p)^l \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} P(X\geq l)=\sum_{\nu=l}^\infty p(1-p)^{\nu-1} = 1-\sum_{\nu=1}^{l-1}p(1-p)^{\nu-1} = 1 -p\frac{1-(1-p)^{l-1}}{p} = (1-p)^{l-1} \end{eqnarray}$ . Ich habe mit der Variante $\begin{eqnarray} P({k}):=p(1-p)^{k-1}, \; k\geq 1 \end{eqnarray}$ , und 0 sonst gearbeitet. Vielleicht klappt exakte Gedächtnislosigkeit nur mit der Variante $\begin{eqnarray} \hat P({k}):=p(1-p)^k, \; k\geq 0 \end{eqnarray}$ , und 0 sonst? LG sibelius84 edit: Ok, ich habe gerade gemerkt, dass man sich auch wesentlich einfacher die beteiligten Wahrscheinlichkeiten überlegen kann. Die geometrische Verteilung beschreibt ja gerade die benötigte Versuchszahl. Logisch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beim k-ten Mal noch nicht geklappt hat, gerade (1-p)^k ist bzw. (1-p)^(k-1).
12.05.2018, 07:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gedächtnislosigkeit im Sinne $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X\geq k+l \mid X\geq k) = \mathbb{P}(X\geq l) \end{eqnarray}$ bezieht sich nur auf Variante B der geometrischen Verteilung. Bei Variante A hat man das oben richtig erkannte Problem einer Verschiebung um 1.
12.05.2018, 10:37	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ah Vielen Dank! Damit habe meinen Fehler gefunden. Hatte zwar Variante B verwendet, jedoch die Partialsummen falsch berechnet. Danke !!

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