Länge der Kurve

12.05.2018, 15:30	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Länge der Kurve Meine Frage: Berechnen Sie die Länge der Kurve $\begin{eqnarray} f:[-1,1] \to \mathbb{R}^2 , t \mapsto (\frac{1}{1 + t^2} , \frac{t}{1+t^2} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Länge einer Kurve haben wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} L(f) = \int \limits_{a}^b \! \|\|f'(t)\|\| \, dt \end{eqnarray}$ Zunächst zur Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(t)= (\frac{-2t}{(1 + t^2)^2} , \frac{1 - t^2}{(1+t^2)^2} ) \end{eqnarray}$ Somit erhalte ich: $\begin{eqnarray} L(f) = \int \limits_{-1}^1 \! \|\|(\frac{-2t}{(1 + t^2)^2} , \frac{1 - t^2}{(1+t^2)^2} )\|\| \, dt<br /> <br /> = \int \limits_{-1}^1 \! \sqrt{(\frac{-2t}{(1 + t^2)^2})^2 + (\frac{1 - t^2}{(1+t^2)^2})^2} \, dt <br /> <br /> = \sqrt{(-1)^2} - \sqrt{1} \end{eqnarray}$ Nun könnte ich folgende Ergebnisse erhalten: -2 oder 0 oder 2. -2 Halte ich für Quatsch, weil man kann ja keine negative Länge haben, aber wenn ich 2 als Ergebnis akzeptiere muss ich ja auch eine negatives Ergebnis akzeptieren, nämlich bei der zweiten Wurzel, was tue ich also?
12.05.2018, 17:05	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Länge der Kurve Bis dahin stimmt es. Vereinfache , bevor Du integrierst: Schreibe das Ganze unter der Wurzel zusammen auf einen Bruch,wende dann im Zähler eine binomische Formel an, kürze und ziehe dann die Wurzel. Dann bekommst Du: $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{t^2+1} \, dt \end{eqnarray}$ mit dem Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$
12.05.2018, 21:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{align} x = \frac{1}{1+t^2} \, , \ \ y = \frac{t}{1+t^2} \end{align}$ gilt: $\begin{align} \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 = \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{t}{1+t^2} \right)^2 = \left( \frac{1-t^2}{2 \left( 1+t^2 \right)} \right)^2 + \left( \frac{t}{1+t^2} \right)^2 \end{align}$ $\begin{align} = \frac{\left( 1-t^2 \right)^2}{4 \left( 1+t^2 \right)^2} + \frac{4t^2}{4 \left( 1+t^2 \right)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{4 \left( 1+t^2 \right)^2} = \frac{\left( 1+t^2 \right)^2}{4 \left( 1+t^2 \right)^2} = \frac{1}{4} \end{align}$ Die Punkte $\begin{align} (x,y) \end{align}$ der Parameterdarstellung liegen daher auf einem Kreis um $\begin{align} \left( \frac{1}{2} , 0 \right) \end{align}$ vom Radius $\begin{align} r = \frac{1}{2} \end{align}$ . Für $\begin{align} t=-1,0,1 \end{align}$ erhält man die Punkte $\begin{align} \left( \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} \right), \, \left( 1,0 \right), \, \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align}$ . Damit beschreibt die Parameterdarstellung einen Halbkreis. Er hat folglich die Länge $\begin{align} b = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi r = \frac{1}{2} \pi \end{align}$

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