Tangente an eine Kurve

12.05.2018, 17:30

Liese

Tangente an eine Kurve

Meine Frage:
Man ermittle die Tangente an die Kurve y(x)+x*y(x)-e^(0,5*x)*cos²(y(x))=-1 im Punkt P(x1/y1), wenn dieser auf der Kurve liegt!

Meine Ideen:
Meine Idee, die Gleichung nach y(x) umstellen, unter Verwendung von Additionstheoremen, dann 1. Ableitung für den Anstieg und danach das normale Programm zum Aufstellen der Tangentengleichung.

13.05.2018, 09:31

Huggy

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RE: Tangente an eine Kurve

Zitat:

Original von Liese
Meine Idee, die Gleichung nach y(x) umstellen, unter Verwendung von Additionstheoremen

Ja, wenn das ginge. Das lässt sich aber nicht bewerkstelligen. Es gibt einen anderen Weg: Differenziere einfach die ganze Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , nicht partiell, sondern total. Man erhält eine lineare Gleichung für $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ , die man leicht nach $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ auflösen kann. Man erhält $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$

Da kann man dann den gegeben Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1) \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann die Tangentengleichung aufstellen.

13.05.2018, 11:35

xhmq4z

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RE: Tangente an eine Kurve
Vielen Dank für den Tip, erhalte jetzt
y-(cos²(y)*eˆ(0,5*x))/2. Das ist die 1. Ableitung, die benötige ich doch für den Anstieg, setzte jetzt x1 und y1 ein und komme dann nicht weiter.

13.05.2018, 12:38

Huggy

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RE: Tangente an eine Kurve

Zitat:

Original von xhmq4z
Vielen Dank für den Tip, erhalte jetzt
y-(cos²(y)*eˆ(0,5*x))/2. Das ist die 1. Ableitung

Das ist nicht richtig! Das wäre die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und in der kommt eh kein $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ vor. Um den Unterschied mal zu verdeutlichen: Es sei

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sei eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann hat man für die partielle Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac \partial {\partial x} f(x,y)=y \end{eqnarray*}$

Für die totale Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bekommt man dagegen nach der Produkt- und Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} f(x,y)=y+xy' \end{eqnarray*}$

Es wäre hilfreich, wenn du bei deiner Antwort die Formeln in Latex schreiben würdest. Zur Not kann man dafür den Formeleditor benutzten. Wenn du bei meiner Antwort auf Zitat gehst, kannst du sehen, wie der Latex-Code für die Formel aussieht.

P.S. Bist du identisch mit dem Fragesteller/der Fragestellerin?

13.05.2018, 16:21

Liese

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RE: Tangente an eine Kurve
Meine Ableitung lautet
1+x+y-e^(0,5*x)*(2cos(y)sin(y)+0,5*cos²(y)). Was wär denn jetzt der nächste schritt, wenn ich die Tangentengleichung im Punkt P(x1/y1), der auf der Kurve liegen soll, aufstellen möchte?

13.05.2018, 17:16

Huggy

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RE: Tangente an eine Kurve
Das ist noch immer nicht richtig. Deine Funktion lautet

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=y+xy-e^{x/2}\cos^2(y) \end{eqnarray*}$

Dann lautet ihre totale Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} f(x,y)=y'+y+xy'-\frac 1 2 e^{x/2}\cos^2(y)+2e^{x/2}\cos (y) \sin (y) y' \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ auflösen. Die Tangentengleichung lautet dann

$\begin{eqnarray*} \frac {y-y_1}{x-x_1}=y'(x_1,y_1) \end{eqnarray*}$

13.05.2018, 18:06

Liese

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RE: Tangente an eine Kurve
Danke!

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