Implizite Funktionen

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Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen
Haben die Gleichungen , , eine differenzierbare Lösung in einer Umgebung des Punktes ?


Meine Idee:
Also man braucht hier wahrscheinlich den Satz für implizite Funktionen.



Erstmal die Vorraussetzung gecheckt:
F_1(a) = 0
F_2(a) = 4
F_3(a) = 0

Dann hab ich überprüft ob die differentiellen Ableitungen stetig im Punkt a und ungleich 0 sind. Das stimmt auch.


.
..


Man folgert nun daraus das es eine offene Umgebung um den Punkt a geben muss, wo man die differenzierbaren Lösungen findet.


Nun fehlt mir das Verständnis, auch weil die Erklärungen immer nur für x,y sind. Und nicht wie man das für 4 Variablen interpretieren soll.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizte Funktionen
Zitat:
Original von Kathreena
Dann hab ich überprüft ob die differentiellen Ableitungen stetig im Punkt a und ungleich 0 sind. Das stimmt auch.

Du meinst die partiellen Ableitungen? Differentielle Ableitungen sind mir unbekannt.
Das ist aber weder ausreichend noch notwendig. Du musst prüfen, ob die Funktionaldeterminante ungleich Null ist. Wenn ich den Funktionsindex mal nach oben schreibe und die partielle Ableitung als unteren Index, also z. B.



dann musst prüfen, ob gilt

Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, in der Vorlesung haben wir alle partiellen Ableitungen überprüft ob sie ungleich 0 sin. Warum weiß ich leider nich.


Aber gut,



So check.

Dann folgt daraus die existenz von impliziten Funktionen in einem Intervall, bzw. Umgebung um den Punkt a.

Ich habe 3 Funktionen, also ich versuchs mal obwohl mir die schreibweise nich so ganz klar ist.





Ich weiß aber nich was sein soll. Hab das von einer "Erklärung" zum Satz für implizite Funktionen und dort wird das auch nicht erklärt weils wahrscheinlich zu banal ist.

Und dann muss ich wohl die partiellen Ableitungen mithilfe der Kettenregel zu um nachzuweisen, das es eine differenzierbare Lösung für x(t) gibt.

Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre super.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kathreena
Danke, in der Vorlesung haben wir alle partiellen Ableitungen überprüft ob sie ungleich 0 sin. Warum weiß ich leider nich.

Ja, das weiß ich auch nicht. Vielleicht habt ihr irgendeinen Spezialfall des Hauptsatzes über implizite Funktionen betrachtet.

Zitat:
So check.

Die Matrix stimmt. Die Determinante hast du unvollständig hingeschrieben. Aber sie ist tatsächlich ungleich Null.

Zitat:
Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre super.

Ich versuche mal, den Hauptsatz über implizite Funktionen zu erläutern. Um nicht zu sehr mit den Bezeichnungen deiner Aufgabe zu kollidieren, wähle ich vielleicht etwas ungewöhnliche Bezeichnungen. Angenommen, man hat Funktionen von Variablen mit und es gilt für alle



Dann kann man sich die Frage stellen, unter welchen Bedingungen man dieses Gleichungssystem nach der Variablen eindeutig auflösen kann.

Bei deiner Aufgabe hat man 3 Funktionen, also und 4 Variablen, also . Die 4 Variablen heißen in deiner Aufgabe . Es wird die Frage gestellt, ob man das Gleichungssystem eindeutig auflösen kann und zwar in der Umgebung eines bestimmten Punktes, den du genannt hast.

Die Variablen, nach denen man auflösen soll, seien genannt. Die verbleibenden Variablen seien genannt mit . In deinem Beispiel ist und es ist und . Jetzt kann mit die M Funktionen zu einer Vektorfunktion zusammenfassen, die Variablen zu einer Vektorvariablen und die Variablen zu einer Vektorvariablen . Der Hauptsatz über implizite Funktionen besagt dann, dass das in einer Umgebung von genau dann möglich ist, wenn in einer solchen Umgebung gilt

Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

ah danke, ok das man die einfach als Vektor schreibt versteh ich nun.

Aber wie kommt man dannach auf die differenzierbare Lösung = z.B. Lösung nach x.


Ich habe nun so eine Formel dazu gefunden, aber da kommt bei mir ganz was komisches raus.
Also ich habe


Also auflösbar nach x(t), y(t), z(t).











dann wäre x(t) = t, y(t) = -t, z(t) = 2-t

Aber ergibt irgendwie wenig sinn.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei der Determinante kommt 8 heraus, nicht 1/8.

Der Hauptsatz über implizite Funktionen ist ein reiner Existenzsatz. Er hilft einem nicht, die Auflösung zu finden. Das wird im Allgemeinen auch gar nicht in geschlossener Form möglich sein, auch bei deiner Aufgabe nicht. Nach deinem Aufgabentext ist auch nicht verlangt.

Man kann allerdings die Ableitungen der Auflösungsfunktion im Punkt angeben und mit ihrer Hilfe eine lineare Näherung der Auflösung in der Umgebung von . Das hast du anscheinend versucht. Ich habe das nicht nachgerechnet.
 
 
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, ja aber das kommt mir dann trotzdem komisch vor, weil dann wäre die Aufgabe ja super kurz.

Determinante ausrechnen, fertig. ich habe bei der Determinante auch 8 rausbekommen, hab da nur durch herumkopiererei den Kehrwert hingeschrieben.

Aber danke soweit.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, du hast ja zunächst etwas anderes gemacht als das Ausrechnen der Determinante. Damit dürfte die Aufgabe durchaus ihren Zweck erfüllt haben zu verstehen, was man bei dem Hauptsatz machen muss und wie das bei einem konkreten Beispiel aussieht.
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