Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen

13.05.2018, 18:21	WoodVac	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen Guten Abend, ich sitze vor folgendem Problem: Ich soll die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= \sqrt{x+1} - \sqrt{\| x-1 \| } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f: [0, \infty ) \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auf differenzierbarkeit untersuchen. Mein Problem ist nun, dass ich den Ansatz kenne, um Funktionen an einem bestimmten Punkt auf Differenzierbarkeit mithilfe des Differenzenquotienten zu überprüfen, jedoch nicht weiß, wie ich das bei einer kompletten Funktion mache. Durch plotten weiß ich, dass die Funktion bei $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar ist, in einer Klausur hätte ich diese Möglichkeit allerdings nicht. Wie ist der Ansatz für eine solche Aufgabenstellung? Vielen Dank im Voraus
13.05.2018, 18:35	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es gilt ja $\begin{eqnarray} \lvert x-1 \rvert = \begin{cases} x-1, \quad x\geq 1 \\1-x, \quad x<1\end{cases} \end{eqnarray}$ . Es gilt also $\begin{eqnarray} f_{\vert [0,1)}(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} f_{\vert (1,\infty)}(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1} \end{eqnarray}$ . Daher weißt du, dass die Funktion außerhalb von x=1 als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar ist, und kannst nun wieder mit deinem Kriterium für die Überprüfung der Differenzierbarkeit an einem bestimmten Punkt einsteigen (nämlich x=1). LG sibelius84
13.05.2018, 18:43	WoodVac	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh wow, was für ein Brett vorm Kopp Super, danke Dir!

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