Riemann zeigen

13.05.2018, 21:43	hukmin	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann zeigen Guten Abend, könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich vorgehen sollte: $\begin{eqnarray} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{q^{-1}(x)} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \notin \mathbb Q \end{eqnarray}$ wobei q ist eine Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \cap [0,1] \end{eqnarray}$ , d.h. eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q \cap [0,1] \end{eqnarray}$ . Zeige, dass f Riemman-integrierbar ist. Ideen f ist beschränkt, man kann schon sehen, dass: $\begin{eqnarray} 0 \leq f \leq 1 \end{eqnarray}$ für alle x. Sei { $\begin{eqnarray} S:={x \in \mathbb, x\in (0,1)\| x = \frac{m}{n}, n \leq q^{-1}(x)} \end{eqnarray}$ }={ $\begin{eqnarray} {s_1,...,s_n} \end{eqnarray}$ } (ich wollte hier eine endliche Treppenfunktion konstruieren und dann eine untere und obere Treppenfunktion z.b. u = 0 und o = etwas mit S zu tun, aber leider bin ich nicht weiter gekommen).
14.05.2018, 00:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also jede rationale Zahl wird auf ein 1/n abgebildet, wobei n eine natürliche Zahl ist. Hmm, interessant. Ich würde folgendes Vorgehen versuchen: Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ gegeben, und sei $\begin{eqnarray} \mathcal Z_n \end{eqnarray}$ eine ansonsten beliebige Folge feiner werdender Zerlegungen des Einheitsintervalls, o.B.d.A. und zur Notationsvereinfachung mit jeweils n+1 Elementen darin. Seien ferner $\begin{eqnarray} \mathcal O_n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathcal U_n \end{eqnarray}$ die bzgl. $\begin{eqnarray} \mathcal Z_n \end{eqnarray}$ gebildete Obersumme bzw. Untersumme von f. Dann müssen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathcal O_n-\mathcal U_n < \varepsilon \end{eqnarray}$ ab einem Index $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Es reicht hier, zu zeigen, dass es einen solchen Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gibt, weil Obersummen bezüglich sich verfeinernder Zerlegungen bekanntlich monoton fallend sind. Die Untersumme ist stets identisch Null, da in jedem noch so kleinen Intervall eine irrationale Zahl liegt. Also bleibt nur noch die Obersumme übrig: $\begin{eqnarray} \mathcal O_n = \sum_{k=1}^n (z_{nk}-z_{n,(k-1)})\cdot\sup_{z_{n,(k-1)}\leq x \leq z_{n,k}} f(x)\leq F_n\cdot \sum_{k=1}^n \sup_{z_{n,(k-1)}\leq x \leq z_{n,k}} f(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ die (gegen Null strebende) Feinheit der $\begin{eqnarray} \mathcal Z_n \end{eqnarray}$ sei. Da q^{-1} auf die natürlichen Zahlen abbildet, können wir uns die eindeutig bestimmten Urbilder $\begin{eqnarray} x_1,\ldots,x_M \end{eqnarray}$ der Zahlen 1, ..., M für eine beliebige natürliche Zahl M anschauen und 'merken'. Der Vorteil ist, dass für alle anderen Zahlen x gilt: f(x)<1/M. Also: Für jede natürliche Zahl M können wir die Obersumme auseinanderziehen gemäß $\begin{eqnarray} \mathcal O_n = \leq F_n\cdot \sum_{k=1}^M \frac 1 k + F_n \cdot \sum_{k=M+1}^n \frac 1 M \end{eqnarray}$ . So weit für heute, vielleicht hilft dir das ja schon, jemand anders macht weiter, oder ich schau es mir morgen noch mal an. LG sibelius84

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