Varianz einer ZV

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123abcxyz Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz einer ZV
Meine Frage:
Hallo,
es scheint so einfach, doch ich komme auf keinen zielführenden Ansatz. Zu zeigen ist, dass die Varianz einer Zufallsvariable auf [0,1] kleiner oder gleich 1/4 ist.
Danke für eure Hilfe.

Meine Ideen:
123abcxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe schon probiert die ZV so zu transformieren, dass der Erwartungswert 1/2 (also in der Mitte) ist, für den Fall sollte es ja einfach zu zeigen sein. Allerdings bekomme ich dann die Varianz nicht passend transformiert.
Alternativ hab ich probiert, das Integral (die Varianz) aufzuspalten in Teile wo die ZV die Werte "0", "zwischen 0 und Erwartungswert", "Erwartungswert", "zwischen Erwartungswert und 1" und "1" annimmt. Auch hier bin ich zu keinem Ergebnis gekommen da die entstandenen Abschätzungen zu grob waren als ich sie in var(X) = E(X²)-E(X)² eingesetzt habe.

Hat jemand noch andere Ideen?
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 123abcxyz
Ich habe schon probiert die ZV so zu transformieren, dass der Erwartungswert 1/2 (also in der Mitte) ist, für den Fall sollte es ja einfach zu zeigen sein. Allerdings bekomme ich dann die Varianz nicht passend transformiert.

Wenn du die Transformation ausführst, ändert sich die Varianz doch nicht, d.h. es ist und V(Y) = V(X)

Zitat:
Original von 123abcxyz
Alternativ hab ich probiert, das Integral (die Varianz) aufzuspalten ...


Hier will ich zu bedenken geben: In der Aufgabenstellung steht nichts davon, dass es sich um eine stetige Zufallsgröße handeln soll. Deshalb kannst du das auch nicht voraussetzen.
Für eine diskrete Zufallsgröße lässt sich (so glaube ich) beweisen, dass die Varianz maximal wird, wenn X eine Zweipunktverteilung mit hat.
123abcxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Zitat:
Original von sixty-four
Wenn du die Transformation ausführst, ändert sich die Varianz doch nicht, d.h. es ist und V(Y) = V(X)


Da habe ich mich wohl schlecht ausgedrückt, ich wollte, dass die Transformierte weiterhin auf [0,1] verteilt ist. Das ist so denke ich nicht mehr gegeben.

Zitat:
Original von sixty-four
Hier will ich zu bedenken geben: In der Aufgabenstellung steht nichts davon, dass es sich um eine stetige Zufallsgröße handeln soll. Deshalb kannst du das auch nicht voraussetzen.

Stetigkeit steht nicht in der Aufgabenstellung, aber genügt für die Schreibweise als Integral nicht, dass die ZV (nennen wir sie mal X) in L² ist? Das folgt doch aus der Beschränktheit.

Zitat:
Original von sixty-four
Für eine diskrete Zufallsgröße lässt sich (so glaube ich) beweisen, dass die Varianz maximal wird, wenn X eine Zweipunktverteilung mit hat.


Das habe ich auch schon überlegt. Komme ich dann von einer diskreten ZV irgendwie als Grenzwert zu meiner ursprünglichen zurück?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen gilt und somit mit

.

Letztere Gleichheit wird für angenommen, erstere für , d.h., wenn nur die Werte 0 oder 1 annimmt. Beides zusammen führt zu der von sixty-four erwähnten diskreten Gleichverteilung auf {0,1}.
123abcxyz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das war ja viel einfacher als gedacht Hammer da hab ich eindeutig zu kompliziert gedacht...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Endergebnis sieht oft sehr einfach aus. Ich kann aber gestehen, dass es nicht mein erster Versuch war.
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