Teilbarkeitsidentität

14.05.2018, 13:22	Freddy443	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsidentität Meine Frage: 7 \| (a^2 + b^2) -> 7\|a und 7\|b Meine Ideen: Habe es mit Induktion probiert, aber komme nicht wirklich weiter.
14.05.2018, 14:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeitsidentität Eine beliebige ganze Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kann bei der Division durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ die Reste $\begin{eqnarray} 0,1,..,6 \end{eqnarray}$ haben. Wenn man diese Reste quadriert, sieht man, das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ bei der Division durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ nur die Reste $\begin{eqnarray} 0,1,2,4 \end{eqnarray}$ haben kann. Wenn man nun zwei Quadratzahlen addiert und die Summe ist durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ teilbar, hat als bei Division durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ den Rest $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , dann muss die Summe ihrer Reste bei Division durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ auch den Rest $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ haben. Das geht aber nur, wenn beide Reste gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sind, also beide Zahlen durch $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ teilbar sind, weil die Summe zweier Zahlen aus der Restmenge $\begin{eqnarray} {0,1,2,4} \end{eqnarray}$ immer kleiner $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ ist.

1

Verwandte Themen