Matrix-Vektoren Produkt Beweis

14.05.2018, 18:08	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix-Vektoren Produkt Beweis Hallo zusammen, ich bräuchte mal nen Tipp für folgenden Beweis: Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrix und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -dimensionaler Spaltenvektor. Dann gilt: $\begin{eqnarray} ^{t}x \cdot A \cdot x =^{t}x \cdot ^{t}A \cdot x \end{eqnarray}$ Ich habe schon echt viel probiert: z.B. $\begin{eqnarray} E_n \end{eqnarray}$ dazu multiplizieren dann transponieren ich verschiedenen Reihenfolgen oder nur transponieren aber egal was ich an "Tricks" versuche , es klappt nicht. Ich vermute aber , dass diese Aufgabe mithilfe eines Tricks ziemlich einfach zu lösen sein sollte. Wäre nett , wenn mich wer auf dich richtige Spur bringt LG Snexx_Math
14.05.2018, 19:15	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix-Vektoren Produkt Beweis Du musst einfach mal ganz stur rechnen: $\begin{eqnarray} Ax = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \\ \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^n a_{nj}x_j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^T Ax = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_i x_j \end{eqnarray}$ und jetzt mach das ganze mal mit $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ . Dann bist du fertig.
14.05.2018, 22:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix-Vektoren Produkt Beweis Oder einfacher überlegen, welche Dimension das Produkt $\begin{eqnarray} x^TAx \end{eqnarray}$ hat und was Transposition damit macht.
15.05.2018, 08:10	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix-Vektoren Produkt Beweis Also erstmal Danke für die Antworten. Ja klar die "Matrix", die am Ende dort steht ist eine $\begin{eqnarray} 1 \times 1 \end{eqnarray}$ Matrix. @sixty-four : Den Ansatz werde ich verfolgen, man kann ja jetzt einfach die Summenzeichen tauschen und dann noch die Indizes von $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ , und dies begründet man mit der Kommutativität reeler Zahlen.
15.05.2018, 08:40	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix-Vektoren Produkt Beweis Ganz genau so ist es. Du musst einfach mal die oben ausgerechnete Doppelsumme analysieren: Da kommt jedes Matrixelement einmal vor, versehen mit je einem Faktor $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ , wobei i die Zeile und j die Spalte des Matrixelementes ist. Bei oben angegebener Summe gehst du zeilenweise durch die Matrix, wenn du die transponierte nimmst, gehst du spaltenweise durch die Matrix.
15.05.2018, 19:45	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix-Vektoren Produkt Beweis Dann schließe ich mal der guten Ordnung halber den alternativen Weg ab: Eine $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ Matrix stimmt natürlich mit ihrer Transponierten überein. Also gilt hier $\begin{eqnarray} x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx \end{eqnarray}$
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