Schätzwert für Varianz des Stichprobenmittelwerts bestimmen

14.05.2018, 18:41

Mani2

Schätzwert für Varianz des Stichprobenmittelwerts bestimmen

Meine Frage:
Hi Leute,

ich komme mit der folgenden Fragestellung nicht ganz klar:

Das auf der Basis von 300 zufällig ausgewählten Taxis ermittelte 95% Konfidenzintervall für das mittlere Fahrzeugalter in Jahren der Taxis in einer Region ergab folgenden Bereich:
[4,08;11,92]. Dabei wurde die unbekannte Varianz der Grundgesamtheit geschätzt. Ermitteln Sie ausgehend von obigem Konfidenzintervall

a1) den erwartungstreuen Punktschätzwert für das mittlere Fahrzeugalter der Taxis in dieser Region.

a2) den Schätzwert für die Varianz des Stichprobenmittelwertes.

Meine Ideen:
a1) habe ich grafisch lösen können, da die Intervalle ja gegeben sind: (b+a)/2 = 8.

Nun ist mir nicht ganz schlüssig, wie ich die Varianz berechnen soll. Da N nicht gegeben ist, nutzt mir meine Formelsammlung hierbei gar nicht.

Danke im voraus und lG,

Mani

15.05.2018, 12:33

Huggy

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RE: Den Schätzwert für die Varianz des Stichprobenmittewerts bestimmen
Die Aufgabenstellung ist unklar!
Welche Verteilung soll für das Fahrzeugalter unterstellt werden? Man könnte näherungsweise eine Normalverteilung unterstellen. Sinnvoller erscheint aber ein Lognormalverteiluung.

15.05.2018, 19:12

HAL 9000

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Die enorme Breite des angegebenen Intervalls [4,08;11,92] deutet darauf hin, dass damit wohl eher das 95%-Konfidenzintervall für das Fahrzeugalter (d.h. das Intervall zwischen dem 2.5%- sowie 97.5%-Quantil der 300er-Stichprobe) statt das 95%-Konfidenzintervall für das mittlere Fahrzeugalter gemeint ist - zwischen beiden besteht ein enormer inhaltlicher Unterschied!!! verwirrt

20.05.2018, 11:23

ZBCH

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Hallo! Ich sitze an der selben Aufgabe.

Eine Verteilung unterstellt werden soll ist tatsächlich nicht gegeben. Auch steht explizit in der Aufgabe dass es um das 95% Konfidenzintervall für das mittlere Fahrzeugalter handelt.

Kann jemand trotzdem helfen?
Ich komme auch auf den richtigen EW, nicht aber auf die Varianz.

Die ist laut Lösung übrigens 4

22.05.2018, 10:47

Huggy

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Wenn man eine Normalverteilung unterstellt, entspricht das symmetrische 95 % Konfindenzintervall einem Bereich von $\begin{eqnarray*} 1.96 \sigma \end{eqnarray*}$ um den Mittelwert. Damit ergibt sich aus den Angaben ziemlich genau $\begin{eqnarray*} \hat\sigma = 2 \end{eqnarray*}$ als Schätzer.

Edit: Das stimmt mit $\begin{eqnarray*} \hat\sigma^2=4 \end{eqnarray*}$ der Musterlösung überein.

22.05.2018, 11:32

HAL 9000

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Ich will nochmal kurz ausführen, was ich oben meinte: Wenn wir von einem $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -normalverteilten Fahrzeugalter $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ausgehen, dann hat der Stichprobenmittelwert $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ von n Werten die Verteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Und wenn das angegebene Intervall WIRKLICH das 95%-Konfidenzintervall des MITTLEREN Fahrzeugalters statt nur des Fahrzeugalters an sich sein soll, dann bedeutet das nicht $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}=2 \end{eqnarray*}$ wie von Huggy berechnet, sondern $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}=2\cdot \sqrt{300} \approx 34.6 \end{eqnarray*}$ . Und diesen Wert kann man nur absurd nennen (auch angesichts des dann nicht mehr vernachlässigbaren Anteils von Fahrzeugen mit negativem Alter...). Womit also doch eher das 95%-Konfidenzintervall des Fahrzeugalters gemeint sein dürfte. Augenzwinkern

22.05.2018, 11:45

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und wenn das angegebene Intervall WIRKLICH das 95%-Konfidenzintervall des MITTLEREN Fahrzeugalters statt nur des Fahrzeugalters an sich sein soll, dann bedeutet das nicht $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}=2 \end{eqnarray*}$ wie von Huggy berechnet, sondern $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}=2\cdot \sqrt{300} \approx 34.6 \end{eqnarray*}$ .

Wenn das angegeben Konfidenzintervall wie geschrieben (ob sinnvoll oder nicht) für das mittlere Fahrzeugalter gilt, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \hat \sigma =2 \end{eqnarray*}$ der Schätzer für die Standardabweichung des mittleren Fahrzeugalters. Danach ist gefragt. $\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}=2\cdot \sqrt{300} \approx 34.6 \end{eqnarray*}$ wäre der Schätzer für die Standardabweichung des Fahrzeugalters.

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