Ableitung zu gegebener Funktion berechnen

15.05.2018, 17:42	Max1414	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung zu gegebener Funktion berechnen Hallo, ich habe folgende Aufgabe hier: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{4 \sqrt[]{2}} ln\left(\frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1} \right) \end{eqnarray}$ Diese Funktion soll abgeleitet werden. Meine Vorgehensweise: Wegen Faktorregel, ist $\begin{eqnarray} f ' (x) = \frac{1}{4 * \sqrt[]{2}} * \left( ln\left(\frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1} \right) \right)' \end{eqnarray}$ Mit Kettenregel wäre: $\begin{eqnarray} \left( ln\left(\frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1} \right) \right)' = \frac{1}{\frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}} * \left( \frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}\right) ' = \frac{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1} * \left( \frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}\right) ' \end{eqnarray}$ So, nun benutzen wir die Quotientenregel: $\begin{eqnarray} \left( \frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}\right) ' = \frac{(x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1)' * (x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1) - (x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1) * (x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1)'}{(x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1)^2} \end{eqnarray}$ So, dass rechnet man dann nun alles aus und kriegt: $\begin{eqnarray} \left( \frac{x^{2} + \sqrt[]{2} x + 1}{x^{2} - \sqrt[]{2} x + 1}\right) ' = \frac{2 * \sqrt[]{2}x^2 - 2 * \sqrt[]{2}}{x^4 - 2 * \sqrt[]{2}x^3 + 4x^2 - 2 * \sqrt[]{2}x + 1} \end{eqnarray}$ Das fügt man dann in die vorherigen Gleichungen ein, rechnet wieder aus (ich überspringe das jetzt) und kriegt: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{x^4 - \sqrt[]{2}x^3 - \sqrt[]{2}x - 1}{\sqrt[]{2}^2 x^6 - \sqrt[]{2}^3 x^5 - \sqrt[]{2}^2 x^4 + \sqrt[]{2}^2 x^2 - \sqrt[]{2}^3 x + \sqrt[]{2}^2 } \end{eqnarray*}$ So, erstmal würde ich gerne wissen, ob das alles plausibel klingt und aussieht. Zweitens vermute ich mal, dass man irgendwo wohl was hätte ausnutzen können um auf ein eleganteres Ergebnis zu kommen oder sich ein bisschen Arbeit erspart hätte. Hat jemand viell. Ideen? MfG Max
15.05.2018, 17:52	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung zu gegebener Funktion berechnen https://www.ableitungsrechner.net/
15.05.2018, 20:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ableitungsrechner sieht recht gut aus, allerdings solltest du diesen eher nur zur Überprüfung deines Resultates befragen, selber rechnen macht fett.. Die gegenständliche Ableitung gelingt mittels der Faktorregel und der Beziehung $\begin{eqnarray} \ln (\frac a b) = \ln (a) - \ln (b) \end{eqnarray}$ relativ einfach. $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac 1 {4 \sqrt 2} \cdot \left( \frac{2x + \sqrt 2}{x^2 + x \sqrt 2 + 1} - \frac{2x - \sqrt 2}{x^2 - x \sqrt 2 + 1} \right) \end{eqnarray}$ Das lässt sich gut umformen, im gemeinsamen Nenner erscheint dann der Faktor $\begin{eqnarray} x^4 + 1 \end{eqnarray}$ .. Im Rechenweg des Ableitungsrechners scheint diese Variante erst gar nicht auf. Er kann freilich nichts dafür, denn er rechnet strikt nach ihm eingebenen Algorithmen. @adiutor62 Es wäre vielleicht hilfreich gewesen, den TE auf die zu verwendenden effizienteren Methoden hinzuweisen. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »