Abschätzung Integral

15.05.2018, 18:24	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Integral Hey, ich habe hier in einem Skript eine Abschätzung die ich nicht nachvollziehen kann momentan. Gegeben ist: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{df(\tau)}{d\tau} \right\| \leq cf^\frac{3}{4}(\tau)g(\tau) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} g \in L^2(0,T) \end{eqnarray}$ . Daraus soll, durch Integration, folgen $\begin{eqnarray} f^\frac{1}{4}(t) \leq f^\frac{1}{4}(s) + c \left\|\int_{t}^{s} \! g(\tau) \, d\tau \right\| \end{eqnarray}$ für beliebige $\begin{eqnarray} s,t \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . An sich sollte das ja eigentlich nicht so schwer sein, aber ich sehe gerade keinen Ansatz. Mich wundert vor allem, wie aus $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ plötzlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ wird. Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist auf $\begin{eqnarray} [0,T] \end{eqnarray}$ beschränkt, das erklärt wohl ihr Verschwinden im Integralterm... Hat jemand sonst einen Tipp für mich? Danke schon mal
15.05.2018, 20:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wenn wir $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ betrachten und die Betragsstriche links mal weglassen, dann geht es für $\begin{eqnarray} y=y(\tau) \end{eqnarray}$ um die DGL $\begin{eqnarray} y' = cy^{\frac{3}{4}} g(\tau) \end{eqnarray}$ , die sich per Trennung der Variablen lösen lässt gemäß $\begin{eqnarray} \int\limits_{y(s)}^{y(t)} y^{-\frac{3}{4}} ~ \dd y = \int\limits_s^t c g(\tau) ~ \dd\tau \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\left(y^{\frac{1}{4}}(t)-y^{\frac{1}{4}}(s)\right) = c\int\limits_s^t g(\tau) ~ \dd\tau \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{4}}(t) = y^{\frac{1}{4}}(s)+ {\color{red}\frac{1}{4}}c\int\limits_s^t g(\tau) ~ \dd\tau \end{eqnarray}$ . Sieht also so aus, als hättest du da rechts einen Faktor vergessen... Jetzt muss man sich noch überlegen, wie die Ungleichungslösung mit dieser Gleichungslösung zusammenhängt...
15.05.2018, 20:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir erstmal links hätte keine Beträge. Bringe das f auf die linke Seite und integriere dann. Mit Substituion kannst du es links leicht integrieren. (So hat man auch die Trennung der Variablen Methode bei Differentialgleichung statt Ungleichungen angewandt). Je nach Vorzeichen, Monotonie oder etwaigen anderen nicht genannten Voraussetzungen kommt man aufs Ergebnis. (zB müssen f, g nichtnegativ sein, sonst existiert so ein f gar nicht. Die Folgerung wäre dennoch richtig aber trivial). Edit: kommt davon wenn man am tablet tippt. Viiiel zu langsam
16.05.2018, 13:39	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch Beiden! Wenn wir die Methode also gleich auf die Ungleichung anwenden hätten wir $\begin{eqnarray} \int_{s}^{t} \! f'(\tau)f^{-\frac{3}{4}}(\tau) \, d\tau \leq c\int_{s}^{t} \! g(\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ Mit Substitution gilt $\begin{eqnarray} \int_{f(s)}^{f(t)} \! y^{-\frac{3}{4}} \, dy = \int_{s}^{t} \! f'(\tau)f^{-\frac{3}{4}}(\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$ und dann natürlich $\begin{eqnarray} f^ \frac{1}{4}(t) \leq f^\frac{1}{4}(s) + \frac{1}{4} c \int_{s}^{t} \! g(\tau) \, d\tau \end{eqnarray}$

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