Anfangswert Problem3

15.05.2018, 18:51

verdi33

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Anfangswert Problem3

Guten Tag übe gerade wieder und wollte fragen ob es soweit passt ?

Bestimmen Sie die Losungen der folgenden linearen AWP

$\begin{eqnarray*} y' = 2y + e^{3x} \end{eqnarray*}$

y(0) = 1

dy/dx = 2y+e^{3x}

1/2 *ln(y) = 3e^{3x} + C

Passt es soweit ?

15.05.2018, 19:04

mYthos

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Nein. Wie kommst du auf die letzte Zeile?

Du musst zuerst die homogene DiffGl. lösen und danach - zur Ermittlung einer partikulären Lösung - den Ansatz mit der Variation der Konstanten machen.

mY+

15.05.2018, 19:27

verdi33

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Auf die letzte Zeile komme ich so
$\begin{eqnarray*} 1/2 *\int_{a}^{b} \! \frac{1}{y} \, dy = \int_{a}^{b} \! e^{3x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz falsch oder wie?

15.05.2018, 19:54

mYthos

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Ja, ziemlich falsch, leider.

Du hast, anstatt 2y zu subtrahieren, durch 2y dividiert, dann bleibt aber rechts immer noch 1 stehen und auch die e-Funktion wäre zu dividieren!
Somit scheitert dieses "Verfahren", weil es verfahren ist Big Laugh

Big Laugh

und zu nichts führt.

So, wie du das gerechnet hast, geht es eben nicht, da sprechen die einfachen Regeln der Algebra dagegen.

mY+

16.05.2018, 10:20

verdi33

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dy*-2y =e^{3x}dx

Das jetzt auf beiden Seiten integrieren ?

16.05.2018, 10:46

klarsoweit

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Du hast (a) offensichtlich nicht verstanden, wie das generelle Verfahren ist, und (b) beachtest du auch nicht diesbezügliche Hinweise:

Zitat:

Original von mYthos
Du musst zuerst die homogene DiffGl. lösen und danach - zur Ermittlung einer partikulären Lösung - den Ansatz mit der Variation der Konstanten machen.

Und genau das mußt du machen: löse als erstes die homogene DGL. Stattdessen zauberst du das "dx" auf geheimnisvolle Weise auf die rechte Seite. unglücklich

unglücklich

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16.05.2018, 10:54

verdi33

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dy/dx =2y

Ist das der richtige Ansatz ?

16.05.2018, 11:11

klarsoweit

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Nun ja, das ist die homogene DGL. (Ein "Lösungs-Ansatz" ist darin noch nicht zu erkennen.)
Als Lösungswege bieten sich die "Trennung der Variablen" an oder die Erkenntnis, daß es sich um eine lineare DGL handelt. Da kannst du den Ansatz (und das ist jetzt tatsächlich ein Ansatz) $\begin{eqnarray*} y = e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$ machen.

16.05.2018, 13:11

verdi33

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ln(y) = 2x +C

y= e^{2x} *e^C

e^c = C

Oder soll ich 1/2y integrieren ?

16.05.2018, 14:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von verdi33
Oder soll ich 1/2y integrieren ?

Wenn überhaupt, dann 1/(2y). Es läuft aber auf das gleiche Ergebnis raus. Mit $\begin{eqnarray*} y = C \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ hast du also eine Lösung des homogenen Problems. Nun brauchst du noch eine Lösung des inhomogenen Problems. Dazu kannst du die Methode der Variation der Konstanten verwenden. smile

smile

16.05.2018, 22:07

verdi33

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ln(y) = 2x +C

y= e^{2x} *e^C

e^c = C

$\begin{eqnarray*} yp(x) = e^{2x}*C(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x) = 2*e^{2x}*C(x) + e^{2x}*C'(x) \end{eqnarray*}$

Passt die Ableitung?

17.05.2018, 07:34

klarsoweit

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Ja.

17.05.2018, 10:05

verdi33

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y' = 2y +e^{3x} y(0) =1

$\begin{eqnarray*} 2*e^{2x}*C(x) +e^{2x}*C'(x) = 2*(e^{2x}*C(x) ) +e^{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x}*C'(x) = e^{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C'(x) = \frac{e^{3x}}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Wie integriere ich das jetzt?

17.05.2018, 10:19

klarsoweit

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Wir wäre es, wenn du noch vor dem Integrieren das $\begin{eqnarray*} \frac{e^{3x}}{e^{2x}} \end{eqnarray*}$ vereinfachst? smile

smile

17.05.2018, 10:35

verdi33

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Verdammt hast Recht

C'(x) = e^x

C(x) = e^x +C

Passt?

Gesamtlösung :

y(x) = e^{2x}*e^x

y(0) = ....

1= 1

Fertig?

17.05.2018, 11:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von verdi33
Gesamtlösung :

y(x) = e^{2x}*e^x

Auch das läßt sich nochmal zusammenfassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2018, 11:36

verdi33

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y(x) = e^{3x}

Das wars ?

17.05.2018, 11:52

klarsoweit

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Korrekt.

Freude

(Kannst du auch leicht durch eine Probe prüfen.)

17.05.2018, 13:17

verdi33

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Danke

18.05.2018, 12:48

mYthos

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Nun, die Korrektheit sehe ich so nicht bzw. anders:

Zitat:

Original von verdi33
...
Gesamtlösung :

y(x) = e^{2x}*e^x

y(0) = ....

1= 1

Fertig?

Das stimmt so nicht. Denn die allgemeine Lösung (noch bevor die Angaben des AWP eingesetzt wurden) lautet

$\begin{eqnarray*} y(x) = y_h \color{red}+ \color{black} y_p = c_1e^{2x} + e^{3x} \end{eqnarray*}$

Nun geht bei dir auch nicht hervor, wie du das AWP gelöst hast. Dazu musst du nun für $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ setzen, erst dann ist $\begin{eqnarray*} c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{3x} \end{eqnarray*}$

Letztere ist natürlich nicht die allgemeine Lösung, sondern die des AWP.

mY+

18.05.2018, 13:44

klarsoweit

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OK, diesen formalen Schritt hatte ich mir gespart, weil ich befürchtete, damit eine Verwirrung auszulösen. Aber danke für die Klarstellung. smile

smile

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