Poissonverteilung/Exponentialverteilung

15.05.2018, 22:16	Spschutz	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung/Exponentialverteilung Grüße, Ich habe eine Frage bzgl. des Übergangs von Poissonverteilung zur Exponentialverteilung. Da ich kein Mathematiker bin, geht es mir konkret darum sicherzustellen, dass meine Argumentation legitim ist. Gegeben ist die Poissonverteilung $\begin{eqnarray} P(k) = \frac{(rt)^k}{k!} e^{-rt} \end{eqnarray}$ mit der Ereignisrate $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ . Ich setzte meinen Zeitnullpunkt bei einem beliebigen Ereignis und möchte nun wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das nächste Ereignis im Zeitintervall $\begin{eqnarray} [t ; t + \text{d}t] \end{eqnarray}$ stattfindet. Dafür nehme ich das Produkt aus 1. der Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall $\begin{eqnarray} [0 ; t] \end{eqnarray}$ kein Ereignis auftritt, also $\begin{eqnarray} P(0) = e^{-rt} \end{eqnarray}$ und 2. der Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall $\begin{eqnarray} [t ; t + \text{d}t] \end{eqnarray}$ ein Ereignis auftritt, also $\begin{eqnarray} P(1) = r \cdot \text{d}t \cdot e^{-r \cdot \text{d}t} \end{eqnarray}$ . Das Produkt ist $\begin{eqnarray} P_{[t; t + \text{d}t]}(1) = e^{-rt} \cdot r \cdot \text{d}t \cdot e^{-r \cdot \text{d}t} \end{eqnarray}$ und jetzt behaupte ich, dass gilt $\begin{eqnarray} e^{- r \cdot \text{d}t} \longrightarrow 1 \end{eqnarray}$ weil ja $\begin{eqnarray} \text{d}t \end{eqnarray}$ infinitesimal ist und damit: $\begin{eqnarray} P_{[t; t + \text{d}t]}(1) = e^{-rt} \cdot r \cdot \text{d}t \end{eqnarray}$ Kann man dies so argumentieren? Für eure Antworten bedanke ich mich bereits im vorhinein. Grüße, Spschutz
16.05.2018, 07:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Ausführungen nach vermute ich, dass du über einen Poisson-Prozess statt nur über eine Poissonverteilung redest?
16.05.2018, 13:20	Spschutz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es handelt sich um radioaktiven Zerfall und die Berechnung der Zeitintervalldichteverteilung. Wie gerade festgestellt habe, habe ich dieses Thema fälschlicherweise in "Schulmathematil" gepostet, in der Kategorie "Hochschulmathematik" wäre es vmtl passender... Grüsse Spschutz
16.05.2018, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Symbolik $\begin{eqnarray} P(k) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} P_{[t,t+\dd t]} \end{eqnarray}$ finde ich etwas befremdlich ungenau bzw. unzureichend angesichts dessen, was du inhaltlich ausdrücken willst... Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Poisson-Prozess ist, d.h. die zufällige Menge der Zeitpunkte, an denen diese Poisson-Ereignisse eintreten, dann geht es dir um $\begin{eqnarray} P\left( \left\|X\cap [0,t)\right\| = 0, \left\|X\cap [t,t+\dd t)\right\| = 0\right) \stackrel{UZ}{=} P\left( \left\|X\cap [0,t)\right\| = 0\right)\cdot P\left(\left\|X\cap [t,t+\Delta t)\right\| = 1 \right) = e^{-rt} \cdot r\Delta t\cdot e^{-r\Delta t} \end{eqnarray}$ und damit tatsächlich $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta t\to 0} \frac{1}{\Delta t} P\left( \left\|X\cap [0,t)\right\| = 0, \left\|X\cap [t,t+\dd t)\right\| = 0\right) = r e^{-rt} \end{eqnarray}$ . "UZ" steht für "unabhängige Zuwächse", eine der zentralen Eigenschaften in der Definition des Poisson-Prozesses.

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