Existenz eines Untervektorraums T der zu zwei UR U1,U2 komplementär ist

16.05.2018, 13:29	nAujla	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz eines Untervektorraums T der zu zwei UR U1,U2 komplementär ist Meine Frage: Hallo! Ich bin neu hier und wollte eine Frage zu folgender Aufgabe stellen. "Es seien U_1 und U_2 Unterräume derselben endlichen Dimension eines Vektorraumes V. Beweise, dass es mindestens einen Unterraum T von V gibt, der sowohl zu U_1 als auch zu U_2 bezüglich V komplementär ist. Hinweis: Betrachte zunächst den Sonderfall $\begin{eqnarray} V=U_1 \oplus U_2 \end{eqnarray}$ (direkte Summe). Wähle hier eine Bijektion $\begin{eqnarray} f \in L(U_1,U_2) \end{eqnarray}$ (lineare Abbildung) und zeige, dass $\begin{eqnarray} T:={u_1+f(u_1)\|u_1 \in U_1} \end{eqnarray}$ die gewünschte Eigenschaften besitzt. Behandle daran anschließend den Fall $\begin{eqnarray} V=U_1+U_2 \end{eqnarray}$ und erst zuletzt den Fall $\begin{eqnarray} V \neq U_1+ U_2 \end{eqnarray}$ ." Ich habe mir einmal folgendes zusammengeschrieben: Def: Zwei Untervektorräume U_1,U_2 heißen komplementär in V, falls U1+U2=V und $\begin{eqnarray} U1 \cap U2=\{0\} \end{eqnarray}$ . Lemma & Def: Sei \sum\limits_{i \in I} Ui \subset V Summe einer Familie (U_i)_(i \in I) von Untervektorräumen U_I \subset V, dann besitzt jeder Vektor u \in U eine eindeutige Zerlegung genau dann wenn \forall i \in I:Ui \cap \sum\limits_{j \neq i} Uj={0}. In diesem Fall heißt die Summe direkt. Bem: Eine Summe V=\sum\limits_{i \in I} Ui ist genau dann direkt, wenn \forall i \in I:Ui \sum\limits_{j \neq i} Uj \subset V komplemente Untervektorräume sind. Es tut mir Leid das ich gleich so viel Frage, aber ich bin Anfänger und tue mir echt schwer diese Aufgabe zu lösen. Danke schon mal im Voraus! (Ich bekomm das mit den Sonderzeichen nicht hin, deshalb habe ich den ganzen Text nochmal als Bild hinzugefügt) Lg Meine Ideen: Nun meine Überlegungen: Wenn ich U_1 \oplus U_2 betrachte: dh nun U_1 \cap U_2={0}, aber laut der letzten Bemerkung folgt auch das U_1+U_2=V, also das U_1 und U_2 komplementär zueinander sind. Wenn ich die lineare Abbildung f \in (U_1,U_2) betrachte: f:U_1 -> U_2. Bijektiv ist die Abbildung genau dann, wenn f(U_1)=U_2 und ker f={0}. "Da f eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Verträumen mit gleicher Dimension ist, reicht es zu zeigen, dass f injektiv ist." Stimmt dieser Satz? Den habe ich in einem anderen Forum gefunden. und wenn ich nun nurmehr zeigen muss das f injektiv ist, soll ich das so zeigen? "=>" Ist f injektiv und u_1 in ker f, so gilt f(u_1)=0=f(0)=>(f inj.) u_1=0 "<=" Ist ker f={0} und sind u_1,u_1'?U1 mit f(u_1)=f(u_1') so gilt f(u_1?u_1')=f(u_1)?f(u_1')=0?u_1?u_1' in ker f={0} daher ist u_1=u_1' also ist f injektiv. T:={u1+f(u1)\u1 \in U1}: Das Bild von u1 doch u2 oder? Denn die Funktion f ist definiert als f:U1->U2. Das heißt es wird der gesamte Vektorraum V aufgespannt und es gilt T=V? Mit 'gewünschte Eigenschaften' habe ich echt keine Ahnung was damit gemeint ist. Die Eigenschaft die in den eckigen Klammern steht? Die Eigenschaft das T ein Komplement ist? od die Eigenschaft das T ein Untervektorraum ist? Sorry bin echt verwirrt :S Wenn U_1+U_2=V ist, dann müsste T={0} sein, denn U_1 und U_2 spannen schon den gesamten Vektorraum auf. Oder T=U_1 oder T=U_2 Wenn U_1+U_2 \neq V ist, dann muss ein T existieren, sodass U_1+U_2+T=V gilt. EDIT: ein paar Latex-Tags zur Verbesserung der Lesbarkeit eingefügt (klarsoweit)

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