Grenzwert bestimmen, wenn existiert

16.05.2018, 17:11	sistenze	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen, wenn existiert Meine Frage: Die Frage lautet so: Bestimmen Sie die Grenzwerte, wenn sie existieren. lim_{x \to a} \frac{x^{a}-a^{a}}{a^{x}-a^{a}} Meine Ideen: Ich habe mir einige Dinge überlegt, aber ich konnte auf keine Lösung kommen.
16.05.2018, 18:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, interessant, dass in der Aufgabenstellung das zweite "Sie" auch großgeschrieben ist. Da würde ich doch einfach mal sagen: Cogito, ergo sum oblectatus. Zur Aufgabe: Du solltest die Regel von del'Hospital benutzen, die besagt: Sind f und g differenzierbare Funktionen, g nullstellenfrei auf einer Umgebung von $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R\stackrel{.}\cup\{\pm\infty\} \end{eqnarray}$ , und gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)\in\{0,\pm\infty\} \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{eqnarray}$ Also: "Zähler ableiten, Nenner ableiten". Beim dritten Grenzwert musst du zunächst alles auf einen Nenner bringen. Es gilt $\begin{eqnarray} (x^a)'=ax^{a-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R\backslash\{0\} \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} (a^x)'=\ln(a)\cdot a^x \end{eqnarray}$ . Basar1lar dilerim! LG sibelius84
21.05.2018, 13:36	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim 3. Grenzwert würde ich mit der Reihendarstellung von $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ argumentieren. Definiere zunächst: $\begin{eqnarray} e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac {x^2}2+\underbrace{\sum_{n=3}^\infty\frac{x^n}{n!}}_{:=R(x)} \end{eqnarray}$ und stelle fest, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{R(x)}x=\lim_{x\to 0}\frac{R(x)}{x^2}=0. \end{eqnarray}$ Jetzt betrachtest Du den zu untersuchenden Term: $\begin{eqnarray} \frac 1{e^x-1}-\frac 1x=\frac{-\frac 12-\frac{R(x)}{x^2}}{1+\frac x2+\frac{R(x)}x} \end{eqnarray}$ und kannst den gesuchten Grenzwert einfach ablesen.

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