Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

16.05.2018, 19:18

MasterWizz

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Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Hey Leute,

Zu den Integralsätzen von Gauß und Stokes habe ich grundlegend einige Verständnisfragen. Ich schreibe sie mal auf, damit wir bei der Diskussion die selben Notationen verwenden. Alle Voraussetzungen seien erfüllt.

Der Integralsatz von Gauß (erst mal interessieren mich nur diese 2 Spezialfälle):
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc}<br /> \displaystyle\iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F &=& \displaystyle\oint\limits_{\partial F}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s}\\<br /> \displaystyle\iiint\limits_V\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}V &=& \displaystyle\iint\limits_{\partial V}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{o}<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

Der Integralsatz von Stokes:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc}<br /> \displaystyle\iint\limits_F\mathrm{rot}(\vec{v})\,\mathrm{d}\vec{o} &=&\displaystyle\oint\limits_{\partial F}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s}<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Fragen:
1) Stimmt es, dass die Flächen/Kurven über die auf der rechten Seite integriert werden immer geschlossen sein müssen?
2) Falls alle Voraussetzungen erfüllt sind und wir beide Integralsätze "vermischen", wäre dann die Aussage $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc}<br /> \displaystyle\iint\limits_F\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}{o} &=&\displaystyle\iint\limits_F\mathrm{rot}(\vec{v})\,\mathrm{d}{\vec{o}}<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$ wahr?
3) Kann ich mir die Aussage des Satzes von Gauß im speziellen so veranschaulichen? -> "Die Nettomenge an Wasser, die in einen Schwamm eintriff/austritt entspricht dem verbleibenden Wasservolumen im Inneren"
4) Ich lese öfter, dass der Satz von Gauß ein Spezialfall des Satzes von Stokes ist. Wieso?

17.05.2018, 12:59

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Original von MasterWizz

$\begin{eqnarray*} \displaystyle\iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F &=& \displaystyle\oint\limits_{\partial F}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s} \end{eqnarray*}$

Diesen Satz gibt es nicht und wenn es ihn, gäbe wäre er falsch. Möglicherweise ist das der Grund, weshalb es ihn nicht gibt. Big Laugh

Big Laugh

Vermutlichst wolltest du den Satz von Gauß in der Ebene, auch Satz von Green genannt, hinschreiben. Bei dem steht aber auf der rechten Seite etwas anderes. Du hast auf die rechte Seite das Kurvenintegral 2. Art hingeschrieben. Bei dem wird das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit dem Tangentenvektor der Kurve über die Kurve integriert. Bei dem Satz von Gauß in der Ebene wird aber das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit dem Normalenvektor der Kurve über die Kurve integriert.

Zitat:

1) Stimmt es, dass die Flächen/Kurven über die auf der rechten Seite integriert werden immer geschlossen sein müssen?

Ja!

Zitat:

3) Kann ich mir die Aussage des Satzes von Gauß im speziellen so veranschaulichen? -> "Die Nettomenge an Wasser, die in einen Schwamm eintriff/austritt entspricht dem verbleibenden Wasservolumen im Inneren"

Nicht so ganz. Folgende Vorstellung passt besser: Man stelle sich den Raum vor gefüllt mit Wasser konstanter Dichte. Das Wasser muss aber nicht in Ruhe sein, sondern es kann eine Strömung geben. Wenn man jetzt ein abgegrenztes Volumen betrachtet, dann muss die Wassermenge, die netto über die Oberfläche aus diesem Volumen hinaus- oder in es hineinströmt, ausgeglichen werden durch die entsprechende Menge an Wasser, die innerhalb des Volumens entsteht oder verschwindet. Das Entstehen oder Verschwinden kannst du dir als Zufluss oder Abfluss in die 4. Dimension vorstellen oder als Zufluss oder Abfluss durch dünne (sehr dünne, sehr sehr dünne Rohrleitungen), die aus dem Volumen in den Außenraum führen, was immer dir besser gefällt. Die lokale Rate des Entstehens oder Verschwindens entspricht der Divergenz des Strömungsfeldes.

Zitat:

4) Ich lese öfter, dass der Satz von Gauß ein Spezialfall des Satzes von Stokes ist. Wieso?

Man muss unterscheiden zwischen den klassischen Sätzen von Gauß und Stokes und dem allgemeinen Satz von Stokes. Die klassischen Sätze beziehen sich auf die Integration von Vektorfelder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Da ist der Satz von Gauß kein Spezialfall des Satzes von Stokes.
Der allgemeine Satz von Stokes behandelt die Integration von Differentialformen über n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Beide klassischen Sätze sind Spezialfälle des allgemeinen Satzes von Stokes, den Stokes wohl nicht gekannt hat.

17.05.2018, 14:24

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Bei dem Satz von Gauß in der Ebene wird aber das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit dem Normalenvektor der Kurve über die Kurve integriert.

Ok ich verstehe. Also wäre der erste Fall korrekt, wenn man ihn so schreibt: $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F = \oint\limits_{\partial F} \vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

Im zweiten genannten Fall vom Satz von Gauß steckt ja der Normalenvektor schon im $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$ drin haben wir bereits besprochen! Jetzt wird mir auch der Unterschied klar:
$\begin{eqnarray*} \oint\limits_K \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{s} = \oint\limits_K \vec{v}\cdot\frac{\vec{K'}}{|\vec{K'}|}\,\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$ berechnet die Zirkulation entlang eines geschlossenen Weges K und $\begin{eqnarray*} \oint\limits_K \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} = \oint\limits_K \vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$ den Fluss des Feldes durch den Weg. Laut dem Satz von Gauß kann dieser "Fluss" aber auch berechnet werden durch die aufsummierte Quelldichte der gesamten eingeschlossenen Fläche $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F \end{eqnarray*}$

Nur eine Kleinigkeit verstehe ich noch nicht: Den Fluss durch eine Fläche kann ich mit dem Oberflächenintegral 2. Art berechnen, aber hier steht das Oberflächenintegral 1. Art und im Integranden die Divergenz. Den Zusammenhang beider Arten habe ich verstanden, aber irgendwas ist noch seltsam verwirrt

verwirrt

. Spielt es hierbei eine Rolle, dass die Strömung durch die Fläche hier nur durch den Rand führen kann, da die Fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nicht "schief" liegen kann, wie im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ?

17.05.2018, 17:09

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Original von MasterWizz
Nur eine Kleinigkeit verstehe ich noch nicht: Den Fluss durch eine Fläche kann ich mit dem Oberflächenintegral 2. Art berechnen, aber hier steht das Oberflächenintegral 1. Art und im Integranden die Divergenz.

Hier steht links kein Oberflächenintegral 2. Art. Eigentlich steht hier nach wie vor ein Volumenintegral, welches sich durch Beschränkung des Volumens auf eine Fläche zu einem Flächenintegral reduziert.

17.05.2018, 17:40

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Ja ich weiß, dass das kein Oberflächenintegral 2. Art ist, aber jeglichen Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche lässt sich doch mit einem Oberflächenintegral 2. Art beschreiben, oder?

Ist folgender Zusammenhang richtig?
$\begin{eqnarray*} \oint\limits_{\partial F}\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}s \overset{\text{Gauß}}{=} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}o \overset{\tiny\text{1.Art $\rightarrow$ 2.Art}}{=} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$

17.05.2018, 18:39

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Allmählich ist mir unklar, was du da gedanklich treibst. Beim Satz von Gauß steht auf der linken Seite kein Oberflächenintegral, weder beim 3-dimensionalen Satz von Gauß noch beim Satz von Gauß in der Ebene. Da steht links das Integral einer skalaren Funktion - nämlich der Divergenz des Vektorfeldes - über ein Volumen bzw eine Fläche. Auf der rechten Seite steht das Oberflächenintegral 2. Art, welches beim Satz von Gauß in der Ebene zu einem Kurvenintegral schrumpft, allerdings nicht zu dem Kurvenintegral 2. Art, wie schon diskutiert.

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17.05.2018, 18:50

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Ich lerne am besten, wenn ich mein Vorhandenes Wissen auf Fehler untersuche. Dabei kombiniere ich alles was ich weiß und versuche Widersprüche zu erzeugen.

Zum Beispiel ist mir wohl grade eine Lücke aufgefallen, denn du meinst, dass es sich bei dem Flächenintegral $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F \end{eqnarray*}$ nicht um ein Oberflächenintegral handelt. Das wundert mich, denn beide Begriffe werden in vielen Quellen, die ich gelesen habe, synonym verwendet. Ich glaube sogar in einem Skript gelesen zu haben, dass sich jedes 2-fach Integral über eine Fläche als Oberflächenintegral im R^3 ausdrücken lässt (nach meiner Vorstellung ist das auch logisch).

17.05.2018, 20:28

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Original von MasterWizz
Zum Beispiel ist mir wohl grade eine Lücke aufgefallen, denn du meinst, dass es sich bei dem Flächenintegral $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}F \end{eqnarray*}$ nicht um ein Oberflächenintegral handelt.

Selbstverständlich kann man das als Oberflächenintegral 1. Art über eine ebene Fläche interpretieren. Doch was folgerst du daraus? Das ist mir unklar. Ich habe den Verdacht, dass du gedanklich irgendwann zu einem Oberflächenintegral 2. Art wechselst.

17.05.2018, 21:29

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Ja mir ist klar, dass es ein Oberflächenintegral 1. Art ist. Weil Integrant und Differential beides skalare sind. Da aber jedes Oberflächenintegral 2. Art auch ein Oberflächenintegral 1. Art ist, geht das ganze doch sicher auch in anderer Richtung?

Wir wissen:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{o} = \iint\limits_F \underbrace{\vec{v}\cdot \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}}_{=f}\,\mathrm{d}o \end{eqnarray*}$

Ich behaupte jetzt zusätzlich:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_F f\,\mathrm{d}o = \iint\limits_F \underbrace{f\cdot \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}}_{=\vec{v}}\,\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$

Stimmt doch, oder?

18.05.2018, 08:48

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Mir ist völlig unklar, was du bei der untersten Gleichung machst. Was soll das Skalarprodukt auf der rechten Seite bedeuten? Da stehen doch links und rechts von dem Skalarpunkt skalare Größen und keine Vektoren!

18.05.2018, 10:23

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Da stehen doch links und rechts von dem Skalarpunkt skalare Größen und keine Vektoren!

Das ist so nicht ganz richtig. f ist skalar und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ ist eine Vektor!

Die Frage ist erst mal nur, ob die Umformung richtig ist. Ich kann doch eine skalare Funktion f in jede Komponente des normierten Normalenvektors reinmultiplizieren. Rein von mathematischen Rechengesetzen her ist hier doch kein Fehler drin? Es gilt doch:
$\begin{eqnarray*} f=\vec{v}\cdot\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\Longleftrightarrow\vec{v}=f\cdot\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{o}=\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\mathrm{d}o \Longleftrightarrow \mathrm{d}o = \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$

Sag bitte einfach ob es wahr oder falsch ist. Je nach deiner Antwort habe ich eine weitere Frage dazu.

18.05.2018, 13:41

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Original von MasterWizz
Das ist so nicht ganz richtig. f ist skalar und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ ist eine Vektor!

Auch zwischen einem Skalar und einem Vektor gibt es kein Skalarprodukt. Da, wo in der fraglichen Gleichung der Skalarpunkt steht, kann kein Skalarpunkt stehen.

Zitat:

Ich kann doch eine skalare Funktion f in jede Komponente des normierten Normalenvektors reinmultiplizieren.

Das kannst du. Das ist aber kein Skalarprodukt. Deshalb kann man da auch keinen Skalarpunkt setzen. Üblicherweise schreibt man das Produkt eines Skalars mit einem Vektor ganz ohne Operatorsymbol. Wenn man da aber einen Multiplikationspunkt verwenden möchte, muss sich der von dem Skalarpunkt unterscheiden. Es ist absolut wichtig, die verschiedenen Arten von Multiplikation auch in der Notation zu unterscheiden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f=\vec{v}\cdot\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\Longleftrightarrow\vec{v}=f\cdot\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}\vec{o}=\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\mathrm{d}o \Longleftrightarrow \mathrm{d}o = \tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\mathrm{d}\vec{o} \end{eqnarray*}$
Sag bitte einfach ob es wahr oder falsch ist.

Deinem Wunsch folgend, könnte ich jetzt einfach sagen, das ist falsch. Aber so fies will ich nicht sein. Und ich will auch den Punkt auf der rechten Seite der ersten Äquivalenz mal nicht als Skalarpunkt interpretieren.
Das ist trotzdem falsch und zwar wegen des Äquivalenzzeichens. Äquivalenz bedeutet, dass die eine Seite der Äquivalenz zwangsläufig aus der anderen folgert und umgekehrt und das ist hier nicht der Fall.

Sei also die Gleichung $\begin{eqnarray*} f=\vec{v}\cdot\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ gegeben. Folgert daraus zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \vec{v}=f\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ ? Natürlich nicht. $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ hat 3 Komponenten. Man hat also eine Gleichung für 3 unbekannte Größen. Da gibt es unendlich viele Lösungen. Aber $\begin{eqnarray*} \vec{v}=f\tfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ ist eine dieser Lösungen.

Zitat:

Je nach deiner Antwort habe ich eine weitere Frage dazu.

Das kann ja heiter werden. Ich hasse es, wenn man Fragen stellt, ohne zu sagen, auf welches Ziel man zusteuert. Vorbeugend teile ich dir mit, dass ich über Pfingsten einschließlich dem Samstag weitgehend anderweitig beschäftigt bin.

18.05.2018, 14:43

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Ich hasse es, wenn man Fragen stellt, ohne zu sagen, auf welches Ziel man zusteuert.

Hey Huggy tut mir Leid, ich wollte dich damit nicht beleidigen. Ich hatte gehofft dir damit nur Arbeit abzunehmen smile

smile

Mit jeder Teilfrage habe ich viele wichtige Zusammenhänge gelernt und verstanden. An dieser Stelle erst mal vielen Dank für deine Hilfe! Um deine Geduld aber nicht überzustrapazieren hier direkt die eigentliche Frage:

1. Gegeben sei eine Fläche F, deren Graph in expliziter Form durch $\begin{eqnarray*} z(x,y)=9-x^2-y^2,\, z\geq0 \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Den Flächeninhalt des Mantels habe ich mit dem Oberflächenintegral 1. Art berechnet: $\begin{eqnarray*} \iint\limits_F \mathrm{d}o = \iint\limits_F |\vec{n}|\,\mathrm{d}F = \iint\limits_{x^2+y^2\leq9}\sqrt{4x^2+4y^2+1}\mathrm{d}F = \dots = \tfrac{\pi}{6}(37^{\frac{3}{2}}-1)\approx 117,3187 \end{eqnarray*}$
Wenn ich aber versuche den Flächeninhalt des Mantels mit dem Satz von Gauß zu berechnen, scheitere ich. Die Mantelfläche hat als Rand die geschlossene Kurve $\begin{eqnarray*} \partial F = \begin{pmatrix} 3\cos(t) \\ 3\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} ,\ t\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$
Was also ist falsch an folgender Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_F\mathrm{d}o \overset{\text{Def.}}{=} \iint\limits_F |\vec{n}|\,\mathrm{d}(x,y) \overset{\text{Gauß}}{=} \oint\limits_{\partial F} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ |\vec{n}|z \end{pmatrix} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}s = \oint\limits_{\partial F} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 1 \end{pmatrix} \mathrm{d}s = \oint\limits_{\partial F}z\, \mathrm{d}s = \dots = 0 \end{eqnarray*}$

2. Wenn wir jetzt die Grundfläche dazu nehmen, erhalten wir insgesamt eine Oberfläche von $\begin{eqnarray*} \tfrac{\pi}{6}(37^{\frac{3}{2}}-1)+9\pi\approx 145,593 \end{eqnarray*}$
Da in diesem Fall die Oberfläche aber geschlossen ist, können wir auch hier den Satz von Gauß verwenden, nur in anderer Richtung. Nur auch in diesem Fall komme ich nicht auf das richtige Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{F=\partial V} \mathrm{d}o \overset{\text{Def.}}{=} \iint\limits_{F=\partial V} \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}\vec{o} \overset{\text{Gauß}}{=} \iiint\limits_V\text{div}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right)\,\mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{8x^2+8y^2+4}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}^3}\,\mathrm{d}V = \iint\limits_{x^2+y^2\leq9} (9-x^2-y^2)\frac{8x^2+8y^2+4}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}^3}\,\mathrm{d}(x,y) = \dots = \tfrac{\pi}{3}(17\sqrt{37}+1)\approx 109,335 \end{eqnarray*}$

Was sind die Fehler bei den beiden Rechnungen?

18.05.2018, 17:06

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Da mir die Zeit allmählich knapp wird, antworte ich nur kurz. Die Berechnung der Oberfläche mit dem Oberflächenintegral 1. Art, indem man die skalare Funktion $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$ über die Oberfläche integriert, ist in Ordnung. Dein Ergebnis ist etwas ungenau. Mit der bekannten Formel für die Oberfläche eines Kegels erhalte ich $\begin{eqnarray*} O\approx 117.686 \end{eqnarray*}$ . Dann lese ich folgenden Satz

Zitat:

Die Mantelfläche hat als Rand die geschlossene Kurve $\begin{eqnarray*} \partial F = \begin{pmatrix} 3\cos(t) \\ 3\sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} ,\ t\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$

Das lässt mich vermuten, dass du jetzt die Mantelfläche mit dem Satz von Gauß in der Ebene berechnen willst. Doch wie soll das gehen. Die Mantelfläche ist ja keine ebene Fläche.

Dann möchtest du offenbar die Oberfläche mit dem normalen Satz von Gauß berechnen, indem du das Integral von $\begin{eqnarray*} \vec f=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$ über die Oberfläche durch ein Volumenintegral über $\begin{eqnarray*} div \; \vec f \end{eqnarray*}$ berechnest.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{F=\partial V} \mathrm{d}o \overset{\text{Def.}}{=} \iint\limits_{F=\partial V} \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}\vec{o} \overset{\text{Gauß}}{=} \iiint\limits_V\text{div}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right)\,\mathrm{d}V \end{eqnarray*}$

Oberflächlich betrachtet sieht das in Ordnung aus. Nur ist der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ erst mal nur auf der Oberfläche definiert. Um den Satz von Gauß anwenden zu können, muss man ihn stetig partiell differenzierbar in das Innere des Volumens fortsetzen. Sonst kann man ja seine Divergenz nicht im Inneren des Volumens berechnen. Das ist sicher nicht unmöglich, aber es ist auch nicht einfach. Die Feldlinien von $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ , die auf dem Mantel senkrecht stehen, müssen eine Krümmung bekommen, damit sie auf auf der Grundfläche senkrecht stehen, wenn sie diese durchstoßen. Mir scheint, dass du dir darüber gar keine Gedanken gemacht hast.

18.05.2018, 17:51

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Das lässt mich vermuten, dass du jetzt die Mantelfläche mit dem Satz von Gauß in der Ebene berechnen willst. Doch wie soll das gehen. Die Mantelfläche ist ja keine ebene Fläche.

Dann war bei 1) mein Fehler, dass ich nicht wusste, dass es sich um eine ebene Fläche handeln muss. Ergibt aber mittlerweile Sinn, danke.

Zitat:

Oberflächlich betrachtet sieht das in Ordnung aus. Nur ist der Normalenvektor n⃗ erst mal nur auf der Oberfläche definiert. Um den Satz von Gauß anwenden zu können, muss man ihn stetig partiell differenzierbar in das Innere des Volumens fortsetzen. Sonst kann man ja seine Divergenz nicht im Inneren des Volumens berechnen. Das ist sicher nicht unmöglich, aber es ist auch nicht einfach. Die Feldlinien von f⃗ , die auf dem Mantel senkrecht stehen, müssen eine Krümmung bekommen, damit sie auf auf der Grundfläche senkrecht stehen, wenn sie diese durchstoßen. Mir scheint, dass du dir darüber gar keine Gedanken gemacht hast.

Stimmt dazu habe ich mir wirklich keine Gedanken gemacht. Kannst du mir erklären wie das funktioniert? Auch wenn es aufwendig ist, würde ich es gern einmal gerechnet haben. Denke dann verstehe ich es besser. Kann mir noch nicht so gut vorstellen, was es bedeutet.

Wünsche dir erst einmal schöne Pfingsten und gute Erholung smile

smile

22.05.2018, 10:55

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen

Zitat:

Original von MasterWizz
Stimmt dazu habe ich mir wirklich keine Gedanken gemacht. Kannst du mir erklären wie das funktioniert? Auch wenn es aufwendig ist, würde ich es gern einmal gerechnet haben. Denke dann verstehe ich es besser. Kann mir noch nicht so gut vorstellen, was es bedeutet.

Dafür gibt es kein Rezept. Das ist Bastelarbeit. Da werde ich sicher keine Arbeit hineinstecken. Der Nutzen des Satzes von Gauß liegt auch nicht der Berechnung von Oberflächen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Wenn du es aber mal beispielhaft machen willst, nimm eine Kugel. Da lässt sich der Normalenvektor auf der Oberfläche direkt in das Innere der Kugel fortsetzen.

22.05.2018, 15:02

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Verstehe was du meinst. Mir ist über Pfingsten noch eine Frage eingefallen. Theoretisch (aber nicht unbedingt immer praktisch sinnvoll) kann der Satz von Gauß IMMER auf Flächenintegrale angewandt werden, wenn die Flächen geschlossen oder eben sind, richtig?

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{F=\partial V} \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{o} = \iiint\limits_V\mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}V \end{eqnarray*}$ , falls die Fläche F geschlossen ist.

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{F} \mathrm{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}o = \oint\limits_{K=\partial F}\vec{v}\,\mathrm{d}\vec{n} \end{eqnarray*}$ , falls die Fläche nicht geschlossen, aber eben ist, gibt es eine oder mehrere geschlossene Randkurven, die sie umranden.

Richtig eingesetzt ist der Satz von Gauß also ziemlich mächtig! Und sollte eine gekrümmte Fläche nicht geschlossen sein, nimmt man zur Berechnung wieder das Oberflächenintegral smile

smile

22.05.2018, 15:26

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Das ist richtig.

Der große Nutzen des Satzes von Gauß liegt aber in der Berechnung allgemeiner Flußintegrale durch Oberflächen mittels des Volumenintegrals über die Divergenz. Bei einem allgemeinen Vektorfeld hat das Flußintegral über die Oberfläche nur selten einen Bezug zum Flächeninhalt der Oberfläche. In deinem anderen Thread hast du aber gesehen, dass sich das Volumenintegral über die Divergenz sehr viel einfacher ausrechnen lässt.

22.05.2018, 15:43

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Danke dir Huggy. Ich hoffe mit mir zu arbeiten ist nicht all zu stressig haha. Wenn ich mich im Forum "besser" verhalten kann, sag es mir einfach. Freue mich nämlich über eure Hilfe und möchte niemanden durch meine Art beleidigen.

22.05.2018, 15:58

Huggy

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
An deiner Art, Fragen zu stellen und auf Antworten einzugehen, ist nichts auszusetzen. Im Gegenteil, ich finde es erfreulich, dass du mitdenkst und selbst rechnest. Das ist gewiss nicht bei allen Fragestellern so.

Leicht stressig finde ich es, wenn viele Fragen zu einem ähnlichen Themenkomplex kommen und sich kein anderer Helfer findet, der dazu auch mal Antworten gibt. Ich liebe nämlich durchaus die Abwechslung. Dafür kannst du aber nichts.

Generell muss ich dich vor mir warnen. Geduld ist nicht meine Stärke. Mir rutscht des öfteren eine rüpelhafte Antwort durch, die mir dann machmal, aber nicht immer, hinterher Leid tut.

22.05.2018, 16:10

MasterWizz

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RE: Integralsätze Gauß-Stokes - Verständnisfragen
Danke dir smile

smile

Ich find dich super! Mir machts Spaß mit dir zu arbeiten und ich hab großen Respekt vor eurem Wissen!

Um euch ein wenig zu entlasten, beantworte ich auch mal Fragen anderer, wenn ich grad selbst wieder hier unterwegs bin und Unterstützung brauche. Aber genug damit diesen abgeschlossenen Post immer wieder nach oben zu pushen. Bis demnächst Wink

Wink

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