Lineare DGL

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verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare DGL
Hat jemand Tipps wie ich bei dieser linearen DGL vorgehen soll?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare DGL
Der Lerneffekt ist ja bei dir gleich Null. unglücklich
Was ist das typische Vorgehen bei diesem DGL-Typ? Dann sollte ja alles klar sein. Da bleibt nur noch: machen.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

homogene DGL:

y' = 2y

oder das:


y' = 2y+1

Woher weiss ich ob ich die 1 weg lassen kann oder nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
homogene DGL:

y' = 2y

Nimm diese.

Zitat:
Original von verdi33
Woher weiss ich ob ich die 1 weg lassen kann oder nicht?

Schiebe alle Terme mit y oder Ableitungen davon auf die linke Seite. Steht dann auf der rechten Seite keine Null, ist die DGL inhomogen.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y' =2y

dy/dx = 2y

dy/y = 2dx

ln(y) = 2x+C

Wie immer:

y= e^{2x}*C(x)


yp= c0+c_1*x+c_2*x^2

yp' = c1(x) +c1'(x)*x+c2'(x)*x^2+c2(x)*2x

Jetzt einfach die Ableitung einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von verdi33
Wie immer:

y= e^{2x}*C(x)

Für die homogene Lösung ist das C konstant und keine Funktion von x.

Zitat:
Original von verdi33
yp= c0+c_1*x+c_2*x^2

yp' = c1(x) +c1'(x)*x+c2'(x)*x^2+c2(x)*2x

Da hast du was falsch verstanden. Die Koeffizienten hängen nicht von x ab, sondern sind alle konstant.
 
 
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

yp= c0+c_1*x+c_2*x^2

Ok dann muss es so sein:

yp' = 1+2x

Richtig ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hast du jetzt die Konstanten c_1 und c_2 weggelassen?
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte die fallen weg ?
Sind ja nicht von x abhängig ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann leite bitte mal y(x) = 3x bzw y(x) = 3x^2 ab.
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Dann leite bitte mal y(x) = 3x bzw y(x) = 3x^2 ab.


wäre einmal 3 und das andere mal 6x


yp= c0+c_1*x+c_2*x^2

yp' =c1+2c_2*x


ok?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. smile
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

y' = 2y+1+x^2

c1+2c_2*x = 2*(c0+c_1*x+c_2*x^2) +x^2

Vereinfacht steht das :

c1 = 2*(c0+c_1*x) +x^2

Weiter komme ich nicht ?
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch jemand da ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt alles ziemlich verkorkst.
Gehen wir noch einmal zur Lösung der homogenen Gleichung zurück, die hast du hoffentlich verstanden (?)

| exp | ... [+c wird beim entlog zu



Somit ist die Lösung der homogenen Gleichung.

Und nun solltest du wissen, wie die Methode der Variation der Konstanten funktioniert.
Wir wollen eine partikuläre Lösung ermitteln und setzen dazu bei (erst jetzt) anstatt und ermitteln nun die Funktion durch Einsetzen von in die gegebene Gleichung.

Auf der linken Seite muss natürlich die Ableitung gebildet werden (Produktregel):



Schaue dir die Gleichung nun genauer an, du kannst vereinfachen.
berechne dann durch Integration (die Integrationskonstante ist dabei )! In der Gesamtlösung erscheint daher nur die Konstante

mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit dem c2 passiert in deiner Ableitung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe kein c2 in der Ableitung. Die Konstante bei der letzten Integration ist 0

mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber im partikulären Ansatz steht c1*x

, wie sagst du dazu einfach c‘(x)?

Die Ableitung ist ja c1
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du missversteht das. Im partikulären Ansatz steht c(x), das hat mit jetzt direkt nichts mehr zu tun.

Die eingeführte Funktion heisst NICHT oder , sondern c(x), also "c von x", das kann irgendeine Funktion in sein, die von abhängt und anfangs noch nicht bekannt ist.
Anstatt c könnte man auch u, v oder sonst einen Namen verwenden, jedenfalls ist nicht konstant und auch nicht

Und genau die musst du durch diesen Ansatz herausfinden, damit eine Lösung der DiffGl ist!

muss also beim Einsetzen in die linke Seite differenziert und rechts normal ersetzt werden.

Du musst dir die Methode der Variation der Konstanten offensichtlich nochmals genau anschauen.

mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht doch das hier :

Ich hänge es dir noch mal dran .

Ich muss es mit diesem Ansatz lösen :

Verstehst du jetzt mein Problem?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, da haben wir jetzt von verschiedenen zwei Welten geredet, sorry! Ich war so auf die Variation mit c(x) fixiert.
Macht aber nichts, das kannst du später vielleicht noch immer brauchen.

Der Hinweis (diesen hatte ich leider übersehen) ist ein alternativer Weg, welcher allerdings auch nicht immer funktioniert. Aber dafür ist er wesentlich leichter.
-----------------

Also, bis zur homogenen Lösung ist es dir klar?
Für eine partikuläre Lösung gilt der Ansatz



und dies setzen wir (links mit der Ableitung) in die gegebenen Gleichung ein:



Jetzt bringe alles auf eine Seite und ordne nach den Potenzen von x



So, und nun ermittlle die 3 Konstanten mittels Koeffizientenvergleich. Du erhältst dabei ein einfaches lineares Gleichungssystem, welches du nach und lösen kannst.

Passt es jetzt so für dich?

mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

ja jetzt wird es klarer . Big Laugh
Lag wohl auch vielleicht daran ,dass ich kein Latex benutzt habe :



Richtig =2 gesetzt ? Nicht sicher verwirrt




Aus 1 Gleichung folgt:


in II eingesetzt:



inIII




Richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. leider.
Was folgt denn aus ? Mache doch mal die Probe für dein
Und dann: Wenn ist, folgt daraus NICHT , sondern .. = 0 (warum?)

Du dürftest (in der Hochschule!) bei diesen einfachen Gleichungen nicht mehr solche horrende Fehler machen!

mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »









III



c_0 = -1/4

Jetzt ok?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

I und II passen jetzt
III noch nicht!







mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »








Das ist ja die allgemeine Lösung dann ? verwirrt

Aber das c(x) habe ich ja durch diesen Ansatz (Aufgabe )nicht bestimmt ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz bestimmt nur die Koeffizienten der partikulären Lösung, die homogene ist doch schon gegessen! Da hatten wir geschrieben



Und c0 ist doch -3/4, wie dir schon gezeigt (!), warum machst du den Fehler noch einmal?
Die homogene Lösung hat tatsächlich nur einen beliebig wählbaren Faktor vor der e-Potenz (den Faktor kannst auch c1 oder c3 oder 'bumsti' oder.. benennen).
c(x) bitte nicht, denn dieses käme nur dann zum Tragen, wenn die Methode der Variation der Konstanten verwendet würde.

Also ist einfach



mY+
verdi33 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leute .

Endlich gelöst Big Laugh
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