Ansatz zur Aufgabe

17.05.2018, 17:53	33linnil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz zur Aufgabe Guten Abend, ich hoffe, jemand mir einen Tipp geben kann, um diese Aufgabe zu lösen: Zeige, dass $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} k^{\frac{m}{m+1}}(k^{\frac{1}{m+1}}-(k-1)^{\frac{1}{m+1}}) = \frac{1}{m+1} \end{eqnarray}$ Z.B. unter Verwendung des Mittelwertsatzes und ohne Verwendung der Fundementalsätze der Differential- und Integralrechnung. Ich habe erste alles ausmultipliziert aber das hat nichts gebracht. Und der Hinweis verstehe ich nicht ganz, wie ich den Satz nutzen kann.
17.05.2018, 23:36	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, mit der geometrischen Summenformel gilt ja $\begin{eqnarray} q^{m+1}-r^{m+1}=(q-r)(q^m+q^{m-1}r+\ldots+qr^{m-1}+r^m), \end{eqnarray}$ für m natürlich und q, r beliebig. Setze da mal $\begin{eqnarray} q=k^{\frac{1}{m+1}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=(k-1)^{\frac{1}{m+1}} \end{eqnarray}$ ein, und teile durch die große Klammer auf der rechten Seite, so dass auf der linken ein Bruch entsteht. Wenn du das in deine Folge einsetzt, bekommst du einen Bruch mit $\begin{eqnarray} k^{\frac{m}{m+1}} \end{eqnarray}$ im Zähler und als erstem Summanden im Nenner. Wenn du durch diesen Ausdruck kürzt und dir die restlichen Summanden im Nenner genauer anschaust, solltest du dann erkennen können, dass die Behauptung gilt. LG sibelius84

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