p| (p k)

17.05.2018, 20:45	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
p\| (p k) Hallo die Aufgabe ist man soll zeigen das eine beliebige Primzahl p , den Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray} \binom{p}{k} \end{eqnarray}$ teilt , wobei $\begin{eqnarray} 1\le k\le p-1 \end{eqnarray}$ und k eine natürliche zahl ist . ich habe angenommen $\begin{eqnarray} \binom{p}{k} \end{eqnarray}$ sei eine natürliche zahl ( anosten induktiionsbeweis) dann gilt $\begin{eqnarray} k!\binom{p}{k}=p(p-1)...(p-k+1) \end{eqnarray}$ etwas umgeschrieben dann : $\begin{eqnarray} \coprod_{i=1}^k i\binom{p}{k}=p\coprod_{i=1}^{k-1}(p- i) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} p>i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \in \lbrace 1,...,k \rbrace \end{eqnarray}$ kann p i nicht teilen , somit auch nicht das Produkt , also k! dh aber dass p in der Primfaktorzerlegung von dem Binomialkoeffizienten enthalten sein muss und diesen auch dann teilt . ist das ok ?
17.05.2018, 23:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, völlig ok, super! Nur eine kleine stilistische Anmerkung - ich würde schreiben: "...kann p nicht i teilen", sieht besser aus. Aber am mathematischen Inhalt nix zu bemängeln. LG sibelius84
18.05.2018, 09:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch via $\begin{eqnarray} k\cdot \binom{p}{k} = p\cdot \binom{p-1}{k-1} \end{eqnarray}$ argumentieren. Ist inhaltlich auch nichts anderes als oben, aber spart ein paar Produktsymbole.
18.05.2018, 12:59	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden alles klar!!

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