Zeitunabhängigkeit einer allg. autonomen DGL 1. Ordnung zeigen

18.05.2018, 08:45

Marius.21

Zeitunabhängigkeit einer allg. autonomen DGL 1. Ordnung zeigen

Meine Frage:
Hi Leute, folgendes Problem quält mich...
Betrachten Sie nun das allgemeine autonome DGL-System erster Ordnung
$\begin{eqnarray*} <br /> y'(t)=f(y(t))<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y:I\Rightarrow \mathbb R ^n<br /> \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass aus
$\begin{eqnarray*} f(y(t))*y(t)=0 \end{eqnarray*}$ (hier handelt es sich um das eukl. Skalarprodukt)
die Zeitunabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} |y(t)| \end{eqnarray*}$ folgt.

Meine Ideen:
Meine Idee ist es zu argumentieren, dass wenn das Skalarprodukt 0 sein soll, sich in jeden Summanden ebenfalls eine 0 ergeben muss. Also entweder f(y(t))=0 und/oder y(t)=0. Wobei y(t)=0 der triviale Fall wäre, falls aber f(y(t))=0, also die Ableitung immer gleich 0 ist, könnte man ja von einer konstanten Funktion y(t) ausgehen.
Ist meine Annahme richtig?

18.05.2018, 09:49

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere die Gleichung skalar mit $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2018, 10:35

Marius603

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann bekomme ich

$\begin{eqnarray*} y'(t)*y(t) = f(y(t))*y(t) \end{eqnarray*}$

Aber was bringt mir $\begin{eqnarray*} y'_{1}(t)*y_{1}(t)+...+y'_{n}(t)*y_{n}(t)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Du hast Dich hier zweimal angemeldet, der User Marius.21 wird daher demnächst wieder gelöscht. Steffen

18.05.2018, 10:54

Marius603

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich glaub ich hab was.
Also wie im vorherigen Post schon erwähnt hab ich die Gleichung,
$\begin{eqnarray*} y'_{1}(t)*y_{1}(t)+...+y'_{n}(t)*y_{n}(t)=0 \end{eqnarray*}$ erhalten.
Wenn ich nun alle Ableitungsfunktionen als $\begin{eqnarray*} dy'(t)/dt \end{eqnarray*}$ schreibe, kann ich mit $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren und erhalte $\begin{eqnarray*} dy_{1}(t)*y_{1}(t)+...+dy_{n}(t)*y_{n}(t)=0*dt \end{eqnarray*}$ .
Das integriere ich nun und bekomme die Gleichung,
$\begin{eqnarray*} 1/2*y_{1}(t)^2+...+1/2*y_{n}(t)^2=0 \end{eqnarray*}$ . Multipliziere ich hier mit 2 erhalte ich genau den Term der bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} |y(t)| \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel steht. Die Wurzel von 0 ist 0, heißt die Lösung ist konstant.
Korrekt?

Danke für den Tipp! smile

18.05.2018, 15:36

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Marius603
Wenn ich nun alle Ableitungsfunktionen als $\begin{eqnarray*} dy'(t)/dt \end{eqnarray*}$ schreibe, kann ich mit $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren und erhalte $\begin{eqnarray*} dy_{1}(t)*y_{1}(t)+...+dy_{n}(t)*y_{n}(t)=0*dt \end{eqnarray*}$ .

Nein das kann man nicht, denn $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ ist ein Symbol und keine Zahl. Was Du aber tun willst ist schon richtig. Etwas formaler könnte man auch einfach sagen, Du hast bemerkt dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{d}{dt}|y(t)|^2=y(t)\cdot y'(t) \end{eqnarray*}$ gilt Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Zeitunabhängigkeit einer allg. autonomen DGL 1. Ordnung zeigen

Verwandte Themen