Gleichheit zeigen mit Binomialkoeffizient

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rayman9999 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit zeigen mit Binomialkoeffizient
Meine Frage:
Ich muss für jedes n aus den natürlichen Zahlen folgendes zeigen:

Ich habe mir zudem noch die alten Übungen angeschaut, und auf Basis dieser Aufgabe alles rausgeholt, was damit zu tun haben könnte:




Meine Ideen:
Durch die Anwendung des verallgemeinerten Binomialkoeffizienten für k > 0 und anschließende Umformungen auf beiden Seiten bin ich auf Folgendes gekommen:
und
Kann man also zeigen, dass die beiden Produkte gleich sind, hat man es bewiesen. Ich war in der Sprechstunde und man hat mir gesagt, dass es per Induktion schwierig ist dies zu beweisen, da man bei dem einem Produkt ein n hat und bei dem anderen nicht.
Ich habe zudem noch versucht anders umzuformen, und bin auf das hier gekommen:

Doch weiterhelfen tut es mir nicht. Ich sitze nun einige Stunden an der Aufgabe und komme nicht mehr weiter, ich bin für jede Hilfe dankbar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Bekanntlich sind bei dieser Darstellung im Zähler genau so viele Faktoren wie im Nenner, wenn man schreibt, also Stück. Das gibt Minuszeichen, somit den Faktor . Dann hat man noch das Produkt der ersten ungeraden Zahlen, also und im Nenner -mal den Faktor , mithin :



Jetzt erweitere den hinteren Bruch mit dem Produkt der ersten geraden Zahlen: . Dann bekommst du im Zähler und im Nenner, wenn du aus jeder geraden Zahl die herausziehst:
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