F-Satz bei PZ

19.05.2018, 12:39	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
F-Satz bei PZ Hallo man soll zeigen : a) Sind $\begin{eqnarray} a \in Z , p \in P \end{eqnarray}$ so gilt $\begin{eqnarray} p\|a^p-a \end{eqnarray}$ b) Sind $\begin{eqnarray} a \in Z , p \in P \end{eqnarray}$ , falls p nicht a teilt , so gilt $\begin{eqnarray} p\|a^{p-1} -1 \end{eqnarray}$ zu a) ich habe mir gedacht ich zeige für $\begin{eqnarray} a \in N \end{eqnarray}$ das mit Induktion zuerst : Anfang : a=0 , $\begin{eqnarray} p\|0^p-0=0 \end{eqnarray}$ Schritt $\begin{eqnarray} (a+1)p-(a+1)=\sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^p1^{p-k} -(a+1)=\sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}a^p* +1 +a -(a+1)=\sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}a^p \end{eqnarray}$ man weiß das p den Binomialkoeffizienten teil ( aus einer anderen Aufgabe) dh p teilt auch die ganze summe . falls nun $\begin{eqnarray} a \in Z <0 \end{eqnarray}$ dann zuerst p=2 $\begin{eqnarray} 2\|a(a-1)=a^2-a \end{eqnarray}$ weil eine zahl gerade ist in 2 aufeinanderfolgenden Zahlen . alle weiteren p sind ungerade und lassen mich folgern: für a <0 und p ungerade ist auch $\begin{eqnarray} =(-a)^p -(-a)=-(a^p-a) \end{eqnarray}$ ungerade , dh wenn p also ( nach oben) $\begin{eqnarray} p\|a^p-a \end{eqnarray}$ für a >0 teilt dann auch $\begin{eqnarray} p\|-(a^p-a) \end{eqnarray}$ zu b) wegen a) gilt $\begin{eqnarray} p\|a^p-a=a(a^{p-1}-1) \end{eqnarray}$ da p a nicht teilt muss nun folgen dass $\begin{eqnarray} p\|a^{p-1}-1 \end{eqnarray*}$ ist das ok? geht es vl einfacher und schneller? danke!

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