Eindeutiger Ringhomomorphismus

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19.05.2018, 14:03	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutiger Ringhomomorphismus Ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe: Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} R_1, R_2 \end{eqnarray}$ Ringe und $\begin{eqnarray} R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ ihr direktes Produkt. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ die folgende universelle Eigenschaft besitzt: Wenn man einen Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und zwei Homomorphismen $\begin{eqnarray} f_i: R \rightarrow R_i, i=1,2 \end{eqnarray}$ gegeben hat, dann existiert genau ein Homomorphismus $\begin{eqnarray} g: R \rightarrow R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} f_i = p_i \circ g \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} p_i: R_1\times R_2 \rightarrow R_i, i=1,2 \end{eqnarray}$ die Projektion auf die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te Komponente ist. Meine Ideen: Lässt sich hier jetzt schlecht zeigen... Ich hab aus dem (Ring-)Homomorphiesatz, dass es für $\begin{eqnarray} f_i: R \rightarrow R_i \end{eqnarray}$ und der kanonischen Projektion bzgl. eines Ideals $\begin{eqnarray} I\subset ker(f_i) \end{eqnarray}$ einen eindeutigen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \overline{f_i}:R_i/I \rightarrow R_i \end{eqnarray}$ gibt. Ich hab mir jetzt die kommutativen Diagramme gezeichnet und hab versucht irgendwie auf die Abbildung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ zu kommen, aber leider ohne Erfolg. Bin für jede Hilfe dankbar!
20.05.2018, 10:21	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
mir scheint ja anscheinend niemand helfen zu wollen, da schreib ich wenigstens nochmal auf was ich jetzt habe: Eindeutigkeit: Sind $\begin{eqnarray} g_1: R \rightarrow R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2: R \rightarrow R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f_i: R \rightarrow R_i \end{eqnarray}$ Ringhomomorphismen, die die universelle Eigenschaft erfüllen, dann ist gibt es genau einen Ringhomomorphismus von $\begin{eqnarray} R_1\times R_2 \rightarrow R_i \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} R_i \rightarrow R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ , sodass das Diagramm kommutiert. Dann muss aber ebenso das Diagramm mit der Abbildung von $\begin{eqnarray} R_1\times R_2 \rightarrow R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ kommutieren und aus der Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} g_i: R \rightarrow R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ folgt, dass es sich dabei um $\begin{eqnarray} id_{R_1\times R_2} \end{eqnarray}$ handeln muss. Also gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} g: R \rightarrow R_1 \times R_2 \end{eqnarray}$ sodass das Diagramm kommutiert, d.h. sodass $\begin{eqnarray} f_i = p_i \circ g \end{eqnarray}$ gilt.
20.05.2018, 10:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann ganz explizit vorgehen. Offenbar ist $\begin{eqnarray} g=(f_1,f_2) \end{eqnarray}$ die gesuchte Abbildung. Vielleicht hilft das schon damit du die Aussage verstehst.
20.05.2018, 11:46	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal Danke fürs antworten. Ehrlich gesagt steh ich bei der Aufgabe ein wenig sehr auf dem Schlauch und hab keinen wirklichen Plan. Ich müsste ja erstmal zeigen, dass dann $\begin{eqnarray} g=(f_1, f_2) \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist der $\begin{eqnarray} f_i= p_i \circ g \end{eqnarray}$ erfüllt und dann noch eindeutig ist oder?
20.05.2018, 11:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
20.05.2018, 12:54	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sorry für die verspätete Antwort, aber es gilt nunmal $\begin{eqnarray} (Mittagessen) > (Algebra-HA) \end{eqnarray}$ 1. Ringhomohmorphismus: Seien $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ , so ergibt sich, da $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ Ringhomos sind: $\begin{eqnarray} g(a+b) = (f_1(a+b), f_2(a+b)) = (f_1(a) + f_1(b), f_2(a) + f_2(b)) = g(a) + g(b)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(ab) = (f_1(ab), f_2(ab)) = (f_1(a) * f_1(b), f_2(a) * f_2(b)) = g(a) * g(b)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g \end{eqnarray}$ ist Ringhomo. 2. Kompositionseigenschaft:* $\begin{eqnarray} (p_i \circ g)(a) = p_i(g(a)) = p_i(f_1(a), f_2(a)) = f_i(a) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,2 \end{eqnarray}$ Eindeutigkeit: Sei $\begin{eqnarray} \overline g \end{eqnarray}$ ein weiterer Ringhomo. der 1. und 2. erfüllt, dann ist $\begin{eqnarray} p_i \circ g = f_i = p_i \circ \overline g \Rightarrow p_i(g(a)) = f_i(a) = p_i(\overline g(a)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g(a) = \overline g(a) \forall a\in R \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ eindeutig.
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20.05.2018, 13:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Eindeutigkeit musst du schon genauer argumentieren. Die Projektionen $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ sind alles andere als injektiv.
20.05.2018, 14:04	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eher so: Sei $\begin{eqnarray} g = (f_1, f_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline g = (h_1, h_2) \end{eqnarray}$ ein weiterer Homomorphismus, der die geforderten Eigenschaften erfüllt. Dann ist wegen $\begin{eqnarray} (p_i \circ g)(a) = p_i(g(a)) = p_i((f_1(a), f_2(a)) = f_i(a) = p_i((h_1(a), h_2(a)) = p_i(\overline g(a)) = (p_i \circ \overline g)(a) \end{eqnarray}$ ... auch $\begin{eqnarray} f_i(a) =h_i(a) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow g=(f_1, f_2) = (h_1, h_2) = \overline g \end{eqnarray}$
20.05.2018, 15:27	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
in Ordnung?
20.05.2018, 15:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

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