Warum sind die folgenden Untervektorräume f-invariant?

20.05.2018, 18:22	Eco27	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sind die folgenden Untervektorräume f-invariant? Meine Frage: Siehe angehängtes Bild Aufgabe 3 ii) Meine Ideen: Allgemein hat ein Polynom ja folgende Form: $\begin{eqnarray} p_{f}=a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}X^{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sei \ v \in V \ mit \ p_{f}(v)=0 \end{eqnarray}$ zu Zeigen ist also $\begin{eqnarray} p_{f}(v)=0 => p_{f}(f(v))=0 \end{eqnarray}$ Umgeformt ergibt sich: $\begin{eqnarray} <br /> 0 =a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(f(v))^{i} <br /> <br /> <br /> \Leftrightarrow a_{0} = - \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i+1} \\<br /> \Leftrightarrow a_{0} = f(-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i}) \\<br /> <br /> \text{d.h.} -\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i} = a_{0} = f(-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i}) \\<br /> <br /> \text{zu zeigen ist also} -\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i} = f(-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i}) \\<br /> \text{D.h.} -\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}f(v)^{i} \\\text{ ist Eigenvektor zum Eigenwert 1} \\<br /> \end{eqnarray}$ Erschließt sich mir jetzt nicht wieso das so sein sollte. Es macht für mich eigentlich auch keinen Sinn, dass es hier ein a_0 gibt da ja a_0 aus K und nicht aus V kommt. Wenn a_0 weg wäre, wäre es ja klar aber soweit ich weiß, wurden Polynome so definiert. Danke im Voraus! VG
20.05.2018, 21:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum sind die folgenden Untervektorräume f-invariant? Das ist das Elend mit dieser Kurzschreibweise. Eigentlich ist $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ nämlich $\begin{eqnarray} a_0\,id \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} a_0id\, f(v)=a_0f(v) \end{eqnarray}$

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