Exakte DGL

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20.05.2018, 23:30

verdi33

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Exakte DGL

Hallo alle zusammen .
Versuche mich jetzt an dem Thema Exakte DGL .

Hat jemand tipps zur Vorgehensweise bei der a)?

21.05.2018, 09:00

Leopold

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Das Vorgehen habe ich neulich bei einer anderen Anfrage vorgestellt. In deinem Fall läuft bei der Bestimmung eines integrierenden Faktors $\begin{align*} \mu = \mu(x,y) \end{align*}$ die Integrabilitätsbedingung auf

$\begin{align*} \left( 2 - \frac{6}{x} \right) \cdot \frac{\partial \mu}{\partial y} = - \frac{3y^2}{x^2} + \frac{3y^2}{x} \cdot \frac{\partial \mu}{\partial x} \end{align*}$

hinaus. Wenn man es nun mit $\begin{align*} \mu = \mu(x) \end{align*}$ versucht, verschwindet die linke Seite und $\begin{align*} y \end{align*}$ fällt aus der Gleichung heraus. Man erhält eine simple Differentialgleichung für $\begin{align*} \mu \end{align*}$ , deren Lösung man direkt erraten kann: Ein integrierender Faktor $\begin{align*} \mu \end{align*}$ ist gefunden. Im nachhinein wundert man sich dann, warum man das nicht direkt gesehen hat ...

21.05.2018, 10:37

verdi33

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Soll man jetzt links nach y und rechts nach x ableiten oder wie genau?

21.05.2018, 10:52

Leopold

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Schau in deinen Unterlagen, welche Bedingung notwendig ist, damit die Differentialgleichung exakt ist (Integrabilitätsbedingung).

21.05.2018, 11:58

verdi33

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links:

-6*x^-1

nach x abgeleitet :

6x/x^2

rechts nach y

-6y+6y = 0

verwirrt

21.05.2018, 12:00

verdi33

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Schau in deinen Unterlagen, welche Bedingung notwendig ist, damit die Differentialgleichung exakt ist (Integrabilitätsbedingung).

Ich weiss dass die Ableitungen nach x und y gleich sein sollen

Aber das passiert nach meinem oberen Ansatz nicht Big Laugh

21.05.2018, 20:18

verdi33

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Jemand da?

22.05.2018, 10:33

Leopold

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$\begin{align*} u(x,y) = 2 - \frac{6}{x} \, , \ \ v(x,y) = \frac{3y^2}{x} \end{align*}$

Integrabilitätsbedingung:

$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} \end{align*}$

Das bedeutet hier:

$\begin{align*} 0 = - \frac{3y^2}{x^2} \end{align*}$

und ist offenbar nicht erfüllt. Nach Multiplikation der Differentialgleichung mit $\begin{align*} \mu(x) = x \end{align*}$ hat man

$\begin{align*} \tilde{u}(x,y) = 2x - 6 \, , \ \ \tilde{v}(x,y) = 3y^2 \end{align*}$

Die Integrabilitätsbedingung ist jetzt mit

$\begin{align*} 0 = 0 \end{align*}$

offenbar erfüllt.

22.05.2018, 12:44

verdi33

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Wie geht es jetzt genau weiter ?

22.05.2018, 13:53

Leopold

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Jetzt bestimme eine Funktion $\begin{align*} F = F(x,y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial x} = \tilde{u}(x,y) \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial y} = \tilde{v}(x,y) \end{align*}$ . Das ist hier besonders einfach, da glücklicherweise $\begin{align*} \tilde{u} \end{align*}$ in Wahrheit nur von $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{v} \end{align*}$ in Wahrheit nur von $\begin{align*} y \end{align*}$ abhängt. Wie man Stammfunktionen bei Polynomen bestimmt, sollte dir aus der Schule bekannt sein.
Ansonsten wäre es wünschenswert, wenn du mehr Eigeninitiative entwickeln würdest. Ich kann dir zwar die Aufgabe lösen, und du hast sie auf dem Blatt. Dein Erkenntnisgewinn wäre dann aber modulo einem epsilon gleich null.

22.05.2018, 17:44

verdi33

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Welche 2 Terme soll ich denn genau integrieren ?

Ich bin ja gerne bei der b) bereit Ansätze zu zeigen Big Laugh

ABER zu erst muss ich ja das bei der a) erst alles verstehen.

22.05.2018, 20:17

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Jetzt bestimme eine Funktion $\begin{align*} F = F(x,y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial x} = \tilde{u}(x,y) \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{\partial F}{\partial y} = \tilde{v}(x,y) \end{align*}$ .

Gib eine Funktion in $\begin{align*} x \end{align*}$ an, die abgeleitet $\begin{align*} 2x-6 \end{align*}$ ergibt, und eine Funktion in $\begin{align*} y \end{align*}$ , die abgeleitet $\begin{align*} 3y^2 \end{align*}$ ergibt. Dann mußt du dir noch überlegen, wie du aus beiden Funktionen eine einzige Funktion $\begin{align*} F = F(x,y) \end{align*}$ bastelst, so daß die Bedingungen im Zitat erfüllt sind.

23.05.2018, 01:39

verdi33

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dF/dx = 2x-6

F(x) = x^2-6x+C

dF/dy = 3y^2

F(y) = y^3 +C

Wie muss ich jetzt genau weiter vorgehen? geschockt

23.05.2018, 17:33

verdi33

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Noch da Leopold?

23.05.2018, 17:59

Leopold

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Zitat:

Original von verdi33
dF/dx = 2x-6

F(x) = x^2-6x+C

dF/dy = 3y^2

F(y) = y^3 +C

Wie muss ich jetzt genau weiter vorgehen? geschockt

Da wir $\begin{align*} F = F(x,y) \end{align*}$ schon für unsere noch zu bestimmende Stammfunktion in zwei Variablen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ vergeben haben, sollten wir andere Bezeichner wählen, zum Beispiel:

$\begin{align*} g(x) = x^2 - 6x \, , \ \ h(y) = y^3 \end{align*}$

Die Integrationskonstante brauchen wir hier noch nicht. Später bei $\begin{align*} F \end{align*}$ können wir sie immer noch anbringen.
Eigentlich müßtest du jetzt selber darauf kommen, wie man aus $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} h(y) \end{align*}$ ein $\begin{align*} F(x,y) \end{align*}$ basteln kann. Es ist ein denkbar einfacher Rechenvorgang, und ich verrate dir hoffentlich nicht zu viel, wenn ich sage, daß es $\begin{align*} g(x)^{h(y)} \end{align*}$ nicht ist. Der Grund, warum es hier so einfach geht, ist, daß $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ nicht von $\begin{align*} y \end{align*}$ und $\begin{align*} h(y) \end{align*}$ nicht von $\begin{align*} x \end{align*}$ abhängt. Im allgemeinen ist das bei exakten Differentialgleichungen nicht der Fall.
Jetzt hab einfach mal ein bißchen Mut und probiere einen Ansatz. Dann machst du die Probe, ob er funktioniert.

23.05.2018, 20:15

verdi33

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Ehrlich gesagt auch wenn es dich vielleicht enttäuscht .
Ich komme nicht darauf Big Laugh

23.05.2018, 20:33

Leopold

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Ich sage dir jetzt die Lösung. Aber mach dir nichts vor: Verstanden hast du nichts. In einer Prüfung wärst du ziemlich aufgeschmissen. Ein Rat: Beschäftige dich mit Mathematik. Nicht 5 Minuten. Nicht 1 Stunde. Nein. So lange, bis du es verstanden hast. Wenn erst einmal der Groschen gefallen ist, wird es auf einmal leichter. Aber da bist du noch weit davon entfernt.

$\begin{align*} F(x,y) = g(x) + h(y) \end{align*}$

Kannst du die Probe auf Richtigkeit selbst durchführen?

24.05.2018, 09:25

verdi33

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F(x,y) = x^2 -6x +y^3

Den Term einfach so zusammen schreiben und fertig oder wie ?

25.05.2018, 13:18

verdi33

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Noch jemand da ?

26.05.2018, 19:59

Leopold

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Zitat: