Integralsatz von Gauß in der Ebene

21.05.2018, 12:38

MasterWizz

Integralsatz von Gauß in der Ebene

Ich habe eine Frage zur Umformung des Satzes von Gauß in der Ebene. Alle Bedingungen sind hinreichend erfüllt. Bekannt ist für eine Parametrisierung $\begin{eqnarray*} K(t) \end{eqnarray*}$ der Randkurve $\begin{eqnarray*} \partial F \end{eqnarray*}$ bereits:

$\begin{eqnarray*} \iint\limits_F\text{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}o=\oint\limits_{\partial F}\vec{v}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\,\mathrm{d}s = \oint\limits_{\partial F}\vec{v}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}t = \oint\limits_{\partial F} \vec{v}\times K'(t)\,\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

In einem Skript habe ich zur Flächenberechnung jetzt diese Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\oint\limits_{\partial F} \vec{K}(t)\times \vec{K'}(t) \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Wie genau kommen wir von der erst genannten Form zur zweitgenannten Flächenformel?

22.05.2018, 11:02

Huggy

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RE: Integralsatz von Gauß in der Ebene
Setze $\begin{eqnarray*} \vec v=\vec K=(x,y,0) \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Die Schreibweise mit dem Vektorprodukt ist etwas missverständlich. Das Integral über den Rand wäre dann formal ein Vektor. Auf der linken Seite steht aber ein Skalar. Die können natürlich nicht gleich sein. Der Vektor hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} (0,0,a) \end{eqnarray*}$ . Gemeint ist, dass die linke Seite gleich der z-Komponente des Vektors ist.

22.05.2018, 14:23

MasterWizz

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RE: Integralsatz von Gauß in der Ebene

Zitat:

Setze $\begin{eqnarray*} v =K =(x,y,0) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe! Da die Divergenz=2, teilen wir durch 2, damit auf der linken Seite im Integranden die konstante Funktion 1 steht, für die Flächenberechnung. Tut mir Leid, manche Fragen sind mir im Nachhinein ein bisschen peinlich Big Laugh

Zitat:

Anmerkung: Die Schreibweise mit dem Vektorprodukt ist etwas missverständlich.

Ja mir gefällt die auch nicht. Find gut, dass es dir genauso geht. Ich denke da es sich um einen Vektor in der Ebene handelt, also nur mit 2 Komponenten, gilt die Festlegung, dass das Kreuzprodukt hier ein Skalar ist. Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} =ad-bc \end{eqnarray*}$

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