Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten

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Carxing Auf diesen Beitrag antworten »
Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten
Meine Frage:
Hi! Ich habe ein Würfelspiel, das relativ frei und selbst zusammengebastelt ist. Dabei gibt es bestimmte mögliche Würfelereignisse, die Punkte geben. Ich würde gerne die Wahrscheinlichkeit von diesen wissen, um gerechte Punktewerte entsprechend der W'keiten zuzuordnen. Ich bin mir nicht sicher ob meine Überlegungen richtig sind. Daher bitte ich hier um Hilfe. Bei dem Spiel hat man 6 Würfel und wirft diese gleichzeitig in einem Wurf.

a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei dieser sechs Würfel eine gleiche Augenzahl haben? (Genau EINE Dreiergruppe soll existieren.. 3,3,3,1,1,1 UNGÜLTIG) (Beispiele: 2,2,2,4,5,1 oder 3,3,3,1,2,2 oder 5,5,5,1,4,6 usw.)

b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) eintritt und ebenso genau zwei der drei verbliebenen Würfel eine gleiche Augenzahl haben? (muss sich logischerweise von der Augenzahl aus a unterscheiden) (Beispiele: 4,4,4,3,3,5 oder 2,2,2,6,6,3 oder 5,5,5,3,3,1 usw.)

c)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass b) eintritt UND sich zudem eine numerische Reihe der drei verschiedener, vorkommenden Augenzahlen bilden lässt? (immer: 3 Würfelaugen= kleinste oder größte Zahl der Reihe UND 2 Würfelaugen = zweitgrößte oder zweitkleinste Zahl der Reihe) (Beispiele: 1,1,1,2,2,3 oder 2,2,2,3,3,4 oder 4,4,4,5,5,6 oder 4,3,3,2,2,2 oder 1,2,2,3,3,3)

d)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Straße? (Beispiel: 1,2,3,4,5,6)

e)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau DREI verschiedene Zweierpasche zu würfeln? (Beispiele: 1,1,5,5,3,3 oder 3,3,6,6,2,2 oder 4,4,5,5,6,6 oder 1,1,6,6,3,3 usw.)

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau vier EINSer? (Beispiele: 1,1,1,1,4,6 oder 1,1,1,1,3,3 oder 1,1,1,1,2,5 usw.)


Einge meiner Rechnungen kommen mir arg unwahrscheinlich vor, ich hab' bestimmt einige Denkfehler begangen. Ich hoffe auf Aufklärung und Hilfe zur Ermittlung der richtigen Werte. Danke.

Meine Ideen:
Zu d)
P = (6/6)*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6) =5/324
Der erste Würfel kann irgendetwas (1-6) sein(z.B. ist es eine 1), ein weiterer muss dann 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 sein. Ein weiterer hat dann nur noch 4/6 Möglichkeiten usw. ...


Zu f)
P = (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(5/6)*(5/6) = 25/46656
Für 4 1er (1/6)^4 , der Rest darf nicht eine 1 sein, daher da das Gegenereignis *(5/6)^2 ???


zu a)
P = (6/6)*(1/6)*(1/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)= 125/7776
Erster Würfel ist irgendetwas, zwei weitere müssen genau mit diesem übereinstimmen(1/6)^2 und die letzten drei dürfen nicht übereinstimmen.


zu b)
Hier muss ich so wie ich vermute die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass lediglich genau 2 der 6 Würfel genau die gleiche Augenzahlen haben und diese Wahrscheinlichkeit dann mit P(a) multiplizieren.
P = (6/6)*(1/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6) = 625/7776

P(b)= (125/7776) * (625/7776)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

a.) es gibt Plätze für den Drilling. Für den Drilling gibt 6 mögliche Augenzahlen. Für den Rest noch 5 , 4 , 3.

Insgesamt gibt es Variationen mit Zurücklegen



die Berechnung kann auf verschiedene Arten erfolgen, aber nicht so wie du es gezeigt hast. Deine sind deutlich zu wenig.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

b.)

genau a.) und 1 Paar ist nicht möglich. Aber du meinst einen Drilling und 1 Paar= Full house

Für den Drilling gibt es 20 mögliche Plätze - siehe oben - , für dessen Augenzahl {a} 6 Möglichkeiten.
Für die Auswahl der Zwillingszahl {b} gibt 5 Möglichkeiten.
Für die letzte Zahl {c} bleiben noch 4 Möglichkeiten, und der Zwilling samt Einzelzahl können noch auf Arten permutieren. Zusammen dann:



ist also mit a.) gleich, wenn ich mich nicht vertan habe.

edit: du kannst nicht disjunkte Ereignisse wie z.b. a.) und b.) schneiden und die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

d.) eine Strasse ist in diesem Fall eine geordnete Vollerhebung.

daraus folgt



---------------------------------------------------------------------------------------------------

e.) 3 Paare
Anzahl der Auswahl der Augenzahlen = .
Jetzt erst werden die Permutationen zu bestimmt. Somit gilt



die Aufgabe c.) überlasse ich dir gerne selbst.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

f.) Vierling

6 Möglichkeiten für die Augenzahl des Vierlings, gefolgt von 5 ; 4 Möglichkeiten für die beiden Restzahlen.
Entweder man wählt die Plätze für den Vierling aus, gefolgt von den Permutationen der Restzahlen



- oder -

man Permutiert die 4 gleichen und die 2 ungleiche Augenzahlen




was natürlich zum selben Ergebnis führt.
------------------------------------------------

edit: es ist ja nach der Wkt für genau 4 Einsen gefragt, deshalb kann die erste 6 entfallen und man erhält
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Carxing
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei dieser sechs Würfel eine gleiche Augenzahl haben? (Genau EINE Dreiergruppe soll existieren.. 3,3,3,1,1,1 UNGÜLTIG) (Beispiele: 2,2,2,4,5,1 oder 3,3,3,1,2,2 oder 5,5,5,1,4,6 usw.)

Wenn ich das richtig lese, beinhaltet a) sowohl die Variante, dass die drei restlichen Augenzahlen sämtlich verschieden sind als auch die andere Variante, dass zwei dieser drei gleich sind (also b)). Demzufolge haben wir bei a) insgesamt Wahrscheinlichkeit

.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mag sein, dass hier keine reine Klasseneinteilung vorliegt, was aber Jacke wie Hose ist, da mal wieder ganz groß mit a.) bis f.) gepostet wurde, um anschließend dann die Fliege zu machen.

Zukünftig werden meinerseits "Erstpostern" erst mal mit lapidaren Antworten abgespeist. böse
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den in der Luft liegenden Verdacht auf Crossposterei kann ich bisher nicht erhärten, also besteht vielleicht doch noch Hoffnung, dass sich der Fragesteller nochmal meldet.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

... glaub' ich zwar nicht,
aber danke für den Hinweis!
Carxing_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten
Ich hab leider keine Bestätigungs-Mail bekommen hab kein Zugang zum Konto. Pw zurücksetzen geht auch nicht, es kommen keine Mails an!! Probiere jetzt eine andere E-Mail.
Also hab' bisher auch nicht Zeit gehabt hier vorbei zu schauen.
Jedenfalls danke für die geschriebenen Lösungen. In dem Fall lag ich bei d) richtig.
Lösung a) erschließt sich mir auch teilweise, aber weshalb *5*4*3 im Zähler??

Wenn ich so überlege sollte es *5*5*4 sein. Der Drilling ist fix, ein weiterer Würfel kann nun nur noch 5 andere Augenzahlen haben, der nächste ebenso 5, der letzte dann jedoch nur noch 4, oder? Bsp: 1-1-1-2-2-4

Werde mich später nochmal hier melden sobald ich alles komplett gedanklich durchgegangen bin..
Carxing_ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten
Nachtrag: @ HAL
bei a) sind alle Möglichkeiten drin bei denen exakt 3 gleiche Augenzahlen der insgesamt 6 Augenzahlen existieren. Wie die restlichen Augenzahlen sind, ist völlig egal solange der Vorsatz nicht ungültig wird...
die mögliche "Pyramide" mit 1-1-1-2-2-3 ist auch darin enthalten
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten
Zitat:
Original von Carxing_
Wenn ich so überlege sollte es *5*5*4 sein. Der Drilling ist fix, ein weiterer Würfel kann nun nur noch 5 andere Augenzahlen haben, der nächste ebenso 5, der letzte dann jedoch nur noch 4

Nein, zu kurz gedacht und damit dann verzählt: Wenn die ersten beiden verschieden sind, dann gibt es für den letzten nicht 4, sondern 5 Möglichkeiten, denn er darf sowohl gleich dem ersten als auch gleich dem zweiten sein... wenn man das ganze retten will, dann müsste man es aufteilen in 5*(1*4+4*5), was 120 statt 100 entspricht. Auch möglich wäre "alle Dreierkombinationen von 5 Zahlen außer alle drei gleich", sprich 5^3-5=120.

Genau wegen dieser Schwierigkeiten hat Dopap die Sache aufgeteilt in die zwei Fälle

a1) alle drei restlichen Augenzahlen sind sämtlich verschieden,

a2) zwei der drei restlichen Augenzahlen sind gleich (entspricht b)).

Siehe auch meine diesbezügliche Anmerkung oben.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spiel mit 6 Würfeln - Würfelwahrscheinlichkeiten
Zitat:
Original von HAL 9000

[...] Genau wegen dieser Schwierigkeiten hat Dopap die Sache aufgeteilt in die zwei Fälle

a1) alle drei restlichen Augenzahlen sind sämtlich verschieden,

a2) zwei der drei restlichen Augenzahlen sind gleich (entspricht b)).

Siehe auch meine diesbezügliche Anmerkung oben.


und deshalb jedesmal eine eindeutige Notation:

a1) P(aaabcd) sowie
a2) P(aaabbc)

im Pokerspiel gibt es dafür die Bezeichnungen Drilling sowie Full House
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

für Freunde der Kombinatorik noch

c.)

mit n=20.000 Versuchen auf meinem Taschenrechner. Die Grenzen des 95% Vertrauensintervalls(*) sind dann



mit der exakten mathematischen Herleitung tu' ich mir schwer.

--------------------------------------------------------------------
* der Wert von r liegt in 19 von 20 Fällen im Intervall und nicht: mit Wkt 95% liegt der wahre Wert von p im Intervall.
Sehe ich das so richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
c.)

Man könnte so abzählen:

1) Es gibt 4 numerische Reihenfolgen 123, 234, 345, 456.
2) Für jede numerische Reihenfolge gibt es 6 Zuordnungen der 3 Zahlen auf den Drilling, Zwilling, Einling.
3) Drilling, Zwilling, Einling können in 60 verschieden Reihenfolgen geworfen werden.

Das ergibt 4*6*60 =1440 Möglichkeiten. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit



Allerdings liegt das deutlich außerhalb der Unsicherheit deiner numerischen Simulation. Einfacher und exakt wäre es, alle 6^6 Fälle per Laufanweisungen zu prüfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
1) Es gibt 4 numerische Reihenfolgen 123, 234, 345, 456.

Da ist wohl zunächst das Problem: Was ist mit "numerische Reihe" gemeint? Du hast es so aufgefasst: Aufeinander folgende ganze Zahlen (dafür sprechen die Beispiele von Carxing), während Dopap nur von Monotonie ausgeht (dafür spricht die etwas wirre Beschreibung von Carxing). Angesichts dieser Datenlage ist zumindest mir völlig unklar, was Carxing nun wirklich meint.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
während Dopap nur von Monotonie ausgeht

Der Gedanke kam mir angesichts der Notation von Dopap auch. Dann gibt es 20 numerische Reihenfolgen und das Ergebnis liegt noch weiter von seiner Simulation entfernt, nur in der anderen Richtung. Deshalb verwarf ich ihn wieder.
Carxing_ Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid wenn ich mich ungeschickt ausgedrückt habe. Bei diesem Spiel soll man aus diesen Zahlengruppen, z.b. (1 1 1) (2 2) (3) eine "Pyramide" legen können. Das Fundament, besteht aus drei "Würfeln" UND soll eben entweder die kleinste oder die größte Zahl sein.
Ein paar gültige Beispiele:

444-55-6 oder 111-22-3 oder 333-44-5 oder 222-33-4
dann aber eben auch in absteigender Reihenfolge:
666-55-4 oder 444-33-2 oder 333-22-1


Was jetzt NICHT möglich wäre:

444-22-3 oder 111-33-2

edit: wenn ich das richtig sehe sind
das genau 8 mögliche Würfe.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Klar scheint jetzt, dass der Zwilling immer in der Mitte liegen soll. Unklar bleibt noch, ob z. B. auch 111-22--4 zulässig wäre. In deinen Beispielen kommt das nicht vor.
Carxing_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ups.Sorry, war das nicht ersichtlich? Es wär' nicht zulässig(111-22-4 nicht ok ), die Zahlengruppen sollen schon direkt aufeinanderfolgend sein ohne eine Zahl auszulassen. Wie hätte ich's verständlicher formulieren können?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem ursprünglichen Text fehlte das Wort aufeinanderfolgend. Man konnte das höchstens aus den Beispielen vermuten.

Nach dieser Klärung gibt es 4 numerische Reihenfolgen. Der Drilling kann der kleinsten oder größten Zahl entsprechen. Drilling, Zwilling, Einling können in 60 Reihenfolgen geworfen werden. Das ergibt 4*2*60 = 480 Möglichkeiten.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

schöne Lösung, ist doch wesentlich einfacher wie gedacht Augenzwinkern

mein Programm ist erstmal universell geschrieben und es wird je nach Fall getestet.
beim full house stimmt die Simulation auch.

für c.) wird der Test "drangehängt"

und mit n=20. 000 Simulationen ist in brauchbarer Übereinstimmung mit den theoretischen 0.01029.

@Huggy: mit Laufanweisung meinst du anscheinend, alle rund 40.000 möglichen Tupel erzeugen und dem selben Test unterziehen ? Dann hätte man gleich das genaue Ergebnis.

noch'nen schönen Sonntag!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

c.) Nachtrag

mit allen 46656 Variationen zeigt mein Taschenrechner tatsächlich auch 480 Treffer an.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

beim ursprünglichen - von HAL monoton genannten - Fall erzielt der TR 2400 Treffer.

also

was mit meiner Simulation konform ist.
Carxing_ Auf diesen Beitrag antworten »

Liege ich bei der Wahrscheinlichkeit für 0 Punkte im ersten Wurf bei meiner Rechnung richtig? (Kein Drilling (oder was größeres), keine 3 Zweierpasche, keine Straße, keine 5, keine 1)

Mögliche Würfe:
2, 2, 3, 3, 4, 6
2, 2, 3, 4, 4, 6
2, 2, 3, 4, 6, 6
2, 3, 3, 4, 4, 6
2, 3, 3, 4, 6, 6
2, 3, 4, 4, 6, 6

P(Null Punkte) =
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