Erwartungswert einer Funktion eines ZV

21.05.2018, 17:29

Ricket

Erwartungswert einer Funktion eines ZV

Guten Tag,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter bzw. finde keinen Anfang und hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.

Aufgabe:
Der stetige Zufallsvektor (X;Y )^T besitzt die gemeinsame Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} f(X,Y)(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)*e^{(-(x+y))} , x,y\geq 0... 0 , sonst \end{eqnarray*}$
(schöner habe ich es leider nicht hinbekommen)

Berechnen Sie mit Hilfe von Satz 2.1 den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{X+Y}) \end{eqnarray*}$

Satz 2.1 ist bei uns
$\begin{eqnarray*} E(g(X,Y))=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty } \! g(x,y)*f\vec{x}(x,y) \, dxdy \end{eqnarray*}$

Ich habe allgemein seit diesem Semester arge Probleme mit dem Thema und verstehe nicht was die Funktion g ist.
Ich hoffe es findet jemand, der sich erbarmt und mir helfen kann bzw verständlich machen kann, was zu tun ist.
Einen Lösungsansatz hab ich auch nicht wirklich, da mich das mit der Funktion g verwirrt

Schonmal vorab vielen Dank

mfg

21.05.2018, 17:42

sixty-four

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RE: Erwartungswert einer Funktion eines ZV
g ist die Funktion, deren Erwartungswert du mit Satz 2.1 berechnen kannst, also in deinem Fall $\begin{eqnarray*} g(X,Y)=\frac{1}{X+Y} \end{eqnarray*}$

21.05.2018, 17:48

Ricket

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RE: Erwartungswert einer Funktion eines ZV
Okay vielen Dank.

Also sozusagen einfach einsetzen und ausrechnen?
oder muss ich erst die einzelnen erwartungswerte E(X) und E(Y) ausrechnen? (Wie gesagt, mir sind viele Zusammenhänge noch nicht klar :/)

21.05.2018, 18:07

sixty-four

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RE: Erwartungswert einer Funktion eines ZV

Zitat:

Original von Ricket
Also sozusagen einfach einsetzen und ausrechnen?

Ja, also ist es dieses Doppelintegral:

$\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{X+Y}) = \int\limits_{0}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{x+y}\frac{x+y}{2} e^{-(x+y)} \;dx \,dy \end{eqnarray*}$

21.05.2018, 18:25

Ricket

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Danke für die schnelle Hilfe.
Frage ist beantwortet und Thread kann geschlossen werden Freude

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