Stationäre Punkte bestimmen

21.05.2018, 17:44

Micha98

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Stationäre Punkte bestimmen

Guten Abend,

ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = 1/3x^3 + xy - 2x + 1/2y^2 \end{eqnarray*}$ gegeben und soll nun die stationären Punkte berechnen.

Ich habe bereits jeweils nach x und y partiell abgeleitet:

(1) $\begin{eqnarray*} dg/dx = x^2 + y - 2 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} dg/dy = y + x \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die jeweiligen Ableitungen gleich Null setzen.
Aus (2) bekomme ich damit $\begin{eqnarray*} x = - y \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das jetzt in (1) einsetze bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray*} -y^2 + y - 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das jetzt noch ein bisschen weiter umforme komme ich auf $\begin{eqnarray*} y = y^2 + 2 \end{eqnarray*}$ . Aber leider komme ich ab diesem Punkt nicht mehr weiter und hoffe das ihr mir dabei helfen könnt.

Mit freundlichen Grüßen,
Micha

21.05.2018, 21:52

mYthos

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Erstens hast du beim Einsetzen einen Rechenfehler gemacht, $\begin{eqnarray*} (-y)^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} -y^2 \end{eqnarray*}$ , und zweitens ergibt sich dann eine quadratische Gleichung in einer Variablen.
--------

Weisst du eigentlich, wie man solche quadratische Gleichungen auflöst?

mY+

21.05.2018, 22:23

Micha98

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Hi,

erstmal vielen Dank für deine Antwort aber ehrlich gesagt bin ich mir nicht 100% sicher, was du mir damit sagen möchtest.

$\begin{eqnarray*} (-y)^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} -y^2 \end{eqnarray*}$ , danke für den Hinweis! Aber nein, ich weiß leider nicht wie ich diese Gleichung lösen würde

21.05.2018, 23:11

mYthos

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Also die richtige Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} y^2 + y - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung kann entweder mit der Lösungsformel (diese solltest du in der HS eigentlich schon kennen!)

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac 1 2 \pm \sqrt{\frac 1 4 + 2} \end{eqnarray*}$

oder mittels quadratischer Ergänzung

$\begin{eqnarray*} y^2 + y + \frac 1 4 = 2 + \frac 1 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y + \frac 1 2)^2 = \frac 9 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

gelöst werden.

mY+

21.05.2018, 23:29

Micha98

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Die PQ-Formel, achso.. Danke dir!

21.05.2018, 23:41

mYthos

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Man kann auch a,b,c verwenden

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

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22.05.2018, 13:15

Micha98

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Was mir gerade auffällt:

Zitat:

Also die richtige Gleichung ist y^2+y - 2=0

Wieso ist $\begin{eqnarray*} y^2 + y - 2 = 0 \end{eqnarray*}$ richtig ohne ein Minus vor dem $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ ? Vielleicht stehe ich gerade auf dem Schlauch aber ich komme gerade nicht drauf.

22.05.2018, 13:31

klarsoweit

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Es wäre geschickter gewesen, du hättest y = -x in der ersten Gleichung ersetzt. Nun denn. Wenn du mit x = -y in die erste Gleichung gehst, hast du als erstes (-y)² stehen. Und jetzt sollten deine grauen Zellen die Erkenntnis liefern, daß (-y)² = y² ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2018, 13:58

Micha98

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Also,

ich habe das jetzt so gemacht:

Ich habe $\begin{eqnarray*} y + x = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y = - x \end{eqnarray*}$ umgeformt. Das in $\begin{eqnarray*} x^2 + y - 2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und damit $\begin{eqnarray*} x^2 - x - 2 = 0 \end{eqnarray*}$ bekommen. Diese Gleichung habe ich dann mit der PQ-Formel gelöst und bin auf $\begin{eqnarray*} x_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = -1 \end{eqnarray*}$ gekommen. Ist das richtig? Und sind damit die stationären Punkte: $\begin{eqnarray*} P_{1}(2, -1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{2}(-2, 1) \end{eqnarray*}$ , da ja y = -x ist?

22.05.2018, 14:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Micha98
Diese Gleichung habe ich dann mit der PQ-Formel gelöst und bin auf $\begin{eqnarray*} x_{1} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} = -1 \end{eqnarray*}$ gekommen. Ist das richtig?

Ja, aber die Frage wundert mich schon. Du brauchst doch nur die Probe machen. smile

smile

Zitat:

Original von Micha98
Und sind damit die stationären Punkte: $\begin{eqnarray*} P_{1}(2, -1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{2}(-2, 1) \end{eqnarray*}$ , da ja y = -x ist?

Obwohl du noch eine Begründung schreibst, schreibst du trotzdem die falschen Koordinaten. unglücklich

unglücklich

22.05.2018, 14:35

Micha98

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Tut mir leid, irgendwie bin ich heute nicht ganz auf der Höhe.

Wo liegen denn dann die stationären Punkte?

22.05.2018, 14:44

klarsoweit

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Du hast doch zum Beispiel raus, daß x_1 = 2 ist. Welchen Wert hat nun das zugehörige y_1 ? Packe diese Koordinaten zu einem Punkt zusammen.

22.05.2018, 14:50

Micha98

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Oh.. Also $\begin{eqnarray*} P_{1}(2,-2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{2}(-1,1) \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2018, 14:54

klarsoweit

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Hurra!

Freude

22.05.2018, 15:49

Micha98

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Okay, vielen Dank für eure Hilfe. Eine letzte Frage hätte ich jetzt noch. Ich soll noch die Lage und Art der Extremstellen der Funktion bestimmen. Das habe ich bereits (hoffentlich richtig) getan:

Die Hesse-Matrix der Funktion lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt für $\begin{eqnarray*} P_{1}(2,-2) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} x^2 -5x + 3 \end{eqnarray*}$ und durch die PQ-Formel dann auf $\begin{eqnarray*} 5/2 \pm \sqrt{13/4} \end{eqnarray*}$ , was in jedem Fall größer 0 ist und damit ein Minimum.

Eingesetzt für $\begin{eqnarray*} P_{2}(-1,1) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei komme ich dann auf das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+x-3 \end{eqnarray*}$ und wieder durch die PQ-Formel auf $\begin{eqnarray*} -(1/2) \pm \sqrt{13/4} \end{eqnarray*}$ welches einmal größer Null und einmal kleiner Null ist und damit ein Sattelpunkt.

Ist das soweit richtig?

22.05.2018, 16:00

klarsoweit

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Keine Einwände. smile

smile

22.05.2018, 16:02

Micha98

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Vielen Dank für deine Hilfe!

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