Flussintegral

21.05.2018, 17:46	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral Kann mir jemand helfen den Fehler in folgender Rechnung zu finden? Gesucht ist der Fluss des Vektorfeldes $\begin{eqnarray} \vec{v}=\begin{pmatrix} x \\ y+z \\ -z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch die geschlossene Fläche F, die in expliziter Form gegeben ist durch $\begin{eqnarray} z(x,y)=9-x^2-y^2,\, z\geq0 \end{eqnarray}$ . Der Normalenvektor ist hierbei positiv gerichtet, zeigt also vom eingeschlossenen Körper weg. Hierfür habe ich 2 verschiedene Rechnungen, die nach dem Integralsatz von Gauß das selbe Ergebnis liefern müssen: Rechnung 1: Zerlegung in Mantelfläche M und Grundfläche G $\begin{eqnarray} \iint\limits_M \vec{v}\,\mathrm{d}\vec{o} = \iint\limits_M \vec{v}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}(x,y) = \iint\limits_M (2x^2+2y^2+2y(9-x^2-y^2)-9+x^2+y^2)\,\mathrm{d}(x,y)=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^3(2r^2+2r\sin(\varphi)(9-r^2)-9+r^2)\cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi =\dots= \frac{81}{2}\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iint\limits_G\vec{v}\mathrm{d}\vec{o} = \iint\limits_G \vec{v}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}(x,y) = \begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi)+9-r^2 \\ r^2-9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -r \end{pmatrix} \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi = 2\pi\int\limits_{r=0}^3(9r-r^3)\,\mathrm{d}r =\dots= \frac{81}{2}\pi \end{eqnarray}$ Das ergibt als Gesamtfluss durch Mantel und Grundfläche einen Wert von $\begin{eqnarray} 81\pi \end{eqnarray}$ . Rechnung 2: Integralsatz von Gauß $\begin{eqnarray} \iint\limits_{\partial K}\vec{v}\mathrm{d}\vec{o} = \iiint\limits_K\text{div}(\vec{v}) = \iiint\limits_K \mathrm{d}(x,y,z) = \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^3\int\limits_{z=0}^{9-r^2}r\,\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi =\dots=\frac{81}{2}\pi \end{eqnarray}$ An welcher Stelle habe ich mich verrechnet oder einen Denkfehler? Danke für eure Hilfe!
22.05.2018, 11:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral Der Fehler liegt beim Integral über die Grundfläche. Dort ist $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ . Das Vektorfeld ist dort also $\begin{eqnarray} \vec v=(x,y,0) \end{eqnarray}$ . Es steht daher senkrecht auf dem Normalenvektor der Grundfläche. Das Skalarprodukt und damit das Integral sind daher Null.
22.05.2018, 14:13	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral Danke schön!

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