Metrische Räume

21.05.2018, 18:09

Snexx_Math

Metrische Räume

Hallo zusammen,

ich bräuchte mal ein bisschen Hilfe,b zw. Rat ob ich die folgende Aufgabe richtig bearbeite:

Fü jeden metrischen Raum X gilt :

a) Sind $\begin{eqnarray*} A,B \subset X \end{eqnarray*}$ abgeschlossen , so ist auch $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Mein Beweis:
Da $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, folgt $\begin{eqnarray*} X\setminus A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\setminus B \end{eqnarray*}$ sind offen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
(Satz aus Vorlesung: Schnitt zweier offener Mengen ist wieder offen ) $\begin{eqnarray*} (X\setminus A) \cap (X\setminus B) \end{eqnarray*}$ ist offen . Somit ist aber auch $\begin{eqnarray*} X\setminus (A\cup B) \end{eqnarray*}$ offen, da $\begin{eqnarray*} (X\setminus A) \cap (X\setminus B) = X\setminus (A\cup B) \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

b)
Ist $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X , so ist auch $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. Gilt das auch für $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ ?

Beweis:
Da $\begin{eqnarray*} (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X ist, folgt:
$\begin{eqnarray*} X\subset (A_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie offener Teilmengen von X. Aus der Vorlesung wissen wir mittels eines Satzes , dass die Vereinigung über alle $\begin{eqnarray*} A_i \ ,\ i \in I \end{eqnarray*}$ eine offene Menge ist:
$\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in I} X\setminus A_i \end{eqnarray*}$ ist also offen und $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in I} X\setminus A_i = X\setminus (\bigcap\limits_{i \in I} A_i ) \end{eqnarray*}$ Somit folgt:
$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.
Dies sollte für $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ nicht gelten.

c) Hier brauche ich tatsächlich Hilfe , im Gegensatz zu den anderen beiden Beweisen wo ich nur gerne wüsste, ob die Beweise in Ordnung sind smile

zuzeigen: $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \partial A \subset A \end{eqnarray*}$

Meine Idee war jetzt so:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow : \end{eqnarray*}$ "
Hier haperts es am meisten unglücklich

Da A abgeschlossen ist , gilt: Für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in A \ \ \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = x \ : x \in A \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich jetzt darauf , dass der Rand von A Teilmenge von A ist ?

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow : \end{eqnarray*}$ "
Wir hatten den Satz: $\begin{eqnarray*} A \cup \partial A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen $\begin{eqnarray*} (A \subset X) \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} \partial A \subset A \Rightarrow \partial A \cup A = A \Rightarrow A \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.

LG

und vielen lieben Dank an jeden der antwortet smile

Snexx_Math

21.05.2018, 20:22

10001000Nick1

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RE: Metrische Räume

Zitat:

Original von Snexx_Math
Dies sollte für $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$ nicht gelten.

"Sollte" reicht in der Mathematik meistens nicht. Augenzwinkern

Hast du ein konkretes Gegenbeispiel?

Bei c) müsstest du uns sagen, wie ihr den Rand einer Menge genau definiert habt.

21.05.2018, 21:10

Snexx_Math

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RE: Metrische Räume
Also der Rand ist bei uns die Menge aller Randpunkte.

Ein Randpunkt ist ein Punkt x aus X für den gilt:

Wir finden in jeder Umgebung U von x einen Punkt y aus U und einen Punkt
z aus X\U.

Zu dem "sollte nicht gelten" , da werde ich mir dann noch was überlegen.

Ich denke ansonsten sollten a) und b) ja richtig gewesen sein.

Ich hoffe mit der obigen Definition kann man was anfangen.

21.05.2018, 21:23

10001000Nick1

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RE: Metrische Räume
Ja, a und b sind richtig.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Ein Randpunkt ist ein Punkt x aus X für den gilt:

Wir finden in jeder Umgebung U von x einen Punkt y aus U und einen Punkt
z aus X\U.

So formuliert ist das falsch, aber ich weiß, was du meinst:
Ein Randpunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , sodass man in jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einen Punkt $\begin{eqnarray*} y\in \textcolor{red}{A} \end{eqnarray*}$ und einen Punkt $\begin{eqnarray*} z\in X\setminus \textcolor{red}{A} \end{eqnarray*}$ findet.

Um also $\begin{eqnarray*} \partial A\subseteq A \end{eqnarray*}$ zu zeigen, falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, könntest du dir zuerst überlegen, dass es für jeden Randpunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Folge mit Gliedern aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt, die gegen diesen Randpunkt konvergiert.
Mit der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass dieser Grenzwert in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen muss.

21.05.2018, 22:20

Snexx_Math

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RE: Metrische Räume

Zitat:

Original von 10001000Nick1
So formuliert ist das falsch, aber ich weiß, was du meinst:
Ein Randpunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein Punkt $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , sodass man in jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einen Punkt $\begin{eqnarray*} y\in \textcolor{red}{A} \end{eqnarray*}$ und einen Punkt $\begin{eqnarray*} z\in X\setminus \textcolor{red}{A} \end{eqnarray*}$ findet.

Um also $\begin{eqnarray*} \partial A\subseteq A \end{eqnarray*}$ zu zeigen, falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, könntest du dir zuerst überlegen, dass es für jeden Randpunkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Folge mit Gliedern aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt, die gegen diesen Randpunkt konvergiert.
Mit der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgt dann, dass dieser Grenzwert in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen muss.

Und daraus folgt dann ja direkt , dass der Rand von A Teilmenge von A ist.
Also ist der Beweis fertig. Die Rückrichung sollte ja richtig gewesen sein, da nichts bemängelt wurde smile

Dann bedanke ich mich smile

LG

PS: Auch wenn die Frage vielleicht dumm ist. Ich hatte wirklich schonmal darangedacht den Beweis genauso aufzubauen, war mir aber nicht sicher , ob man davon ausgehen kann, dass es eine Folge mit Randpunkt als Grenzwert immer gibt bzw. warum ein Randpunkt immer so ein Folgengrenzwert ist.
Könntest du mir vielleicht erklären warum das ist ?

22.05.2018, 09:44

10001000Nick1

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Offene Kugeln $\begin{eqnarray*} B_{\varepsilon}(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \} \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind offene Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Hier benutzen wir das speziell für $\begin{eqnarray*} \varepsilon= \frac 1n \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\partial A \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nach Definition $\begin{eqnarray*} B_{\frac 1n}(x)\cap A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Hast du eine Idee, wie man damit eine Folge konstruieren kann, die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert? (Schau dir nochmal die Definition von Konvergenz in metrischen Räumen an.)

23.05.2018, 01:42

Snexx_Math

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Also eigentlich nimmt man dann ja einfach eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists N\in \mathbb N \forall n \geq N : d(x_n,x)< \epsilon \end{eqnarray*}$

Also könnte ich ja einfach sowas nehmen wie: $\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

23.05.2018, 02:48

10001000Nick1

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Wir sind hier in einem metrischen Raum; eine Addition gibt es da im Allgemeinen gar nicht. Und erst Recht keine Addition eines Punktes aus dem metrischen Raum mit einer reellen Zahl. Augenzwinkern

Du musst dir also etwas anderes überlegen. Konkret angeben wirst du die Folgenglieder übrigens nicht können. Aber du kannst trotzdem angeben, wie man eine passende Folge findet.

26.05.2018, 11:44

Snexx_Math

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Da stehe ich jetzt ehrlich gesagt auf dem Schlauch.
Ich hab iwie nicht so die Idee wie das aussehen bzw. formuliert werden soll verwirrt

28.05.2018, 08:54

10001000Nick1

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Du kannst für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ einfach irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} B_{\frac 1n}(x)\cap A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ als n-tes Folgenglied $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nehmen. (Das ist möglich wegen $\begin{eqnarray*} B_{\frac 1n}(x)\cap A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ .)

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