Stetigkeit der Funktion

21.05.2018, 19:42	Janyla	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Funktion Meine Frage: Hallo, Könnt ihr bitte mir helfen. Man muss eine Funktion g:[0,1]->[0,1] angeben,die an unendlich vielen Punkten nicht stetig ist. Ich freue mich auf eure Hilfe! Meine Ideen: Mir fällt leider nix ein, wie ich es anfangen soll
21.05.2018, 20:18	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Weil die rationalen und die irrationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen, könnte man über einen Ansatz der Form $\begin{eqnarray} g(x)=\begin{cases} ... &, \text{falls } x\in\mathbb Q\cap [0,1] \\ ... &, \text{falls } x\in(\mathbb R\setminus\mathbb Q)\cap [0,1]\end{cases} \end{eqnarray}$ nachdenken.
22.05.2018, 22:39	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort aber Ich checke leider gaar nicht irgendwie, wie meinst du es Du bist hier zweimal angemeldet, Janyla wird daher demnächst wieder gelöscht. Steffen
23.05.2018, 02:51	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir unklar, was diese Notation allgemein bedeutet? Das ist eine abschnittsweise definierte Funktion. Für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ prüft man, welcher der beiden Fälle gilt; und findet dann in dieser Zeile den zugehörigen Funktionswert. Oder weißt du nicht, was du für $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ einsetzen sollst? Dann denke mal an die einfachsten Funktionen, die es gibt, nämlich konstante Funktionen.
23.05.2018, 15:07	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht was ich einsetzen soll. Kann ich Wurzel x und x hoch 2 einsetzen?
23.05.2018, 16:46	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
achsoo, ich denke x als konstant und 1/x nehmen und einsetzen, wäre das richtig?
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24.05.2018, 00:18	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Seit wann ist $\begin{eqnarray} x\mapsto x \end{eqnarray}$ eine konstante Funktion? Deine erste Idee ist richtig. $\begin{eqnarray} g(x)=\begin{cases} \sqrt x &, \text{falls } x\in\mathbb Q\cap [0,1] \\ x^2 &, \text{falls } x\in(\mathbb R\setminus\mathbb Q)\cap [0,1]\end{cases} \end{eqnarray}$ ist nur in den Punkten 0 und 1 stetig. (Ist dir klar, warum?) Dein zweites Beispiel funktioniert deshalb nicht, weil $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in das Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ abbilden soll. Ein einfacheres Beispiel ist die Dirichlet-Funktion, die nirgends stetig ist.
24.05.2018, 00:25	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
okaay, danke dir, mm, nicht ganz klar, warum in den Punkten 0, 1 stetig ist. weil wurzel 0 = 0 und wurzel 1= 1?
24.05.2018, 00:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja; einfach gesagt, konvergiert die Funktion in beiden "Ästen" für $\begin{eqnarray} x\to 1 \end{eqnarray}$ gegen 1 und für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ gegen 0. (Ein formaler Beweis funktioniert z.B. mit dem Folgenkriterium.)
24.05.2018, 00:37	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
danke seeehr

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