Supremum/Infimum der Rationalen Zahlen bei Teilmenge

22.05.2018, 16:16	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum/Infimum der Rationalen Zahlen bei Teilmenge Ich habe eine Teilmenge A:=(x Element Q : x^2 kleiner/gleich 2) Teilmenge von Q (leider weiß ich nicht ,wie man die mathematischen Zeichen hier macht) Was ich verstanden habe: -es gibt unendlich viele obere und untere Schranken, welche auch über den Definitionsbereich hinausschießen können. - Wurzel 2 kann man ausser Acht lassen ,genauso wie jede andere irrationale Zahlen, da es hier nur um die Rationale Zahlen geht. Frage: Was ist denn jetzt die kleinest obere Schranke (Sup) von A. Ich dachte ,dass es 2 wäre, da die Zahl 2 kleiner gleich dem Definitionsbereich 2 ist, aber anscheinend ist dem nicht so... Dieselbe Frage dann auch bei der größten unteren Schranke (Inf) Ich hoffe, dass jmd. Mir das verständlich erklären kann. Stehe auf dem Schlauch
22.05.2018, 16:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt keine kleinste rationale obere Schranke von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , wohl aber eine kleinste reelle obere Schranke, eben jenes $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Entsprechend ist die größte untere Schranke für deine Menge die reelle Zahl $\begin{eqnarray} -\sqrt{2} \end{eqnarray}$ .
23.05.2018, 12:14	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Danke für die Antwort. Aber könntest du mir noch erklären ,warum es kein Supremum und Imfimum. Bei der Aufgabe dachte ich ,dass das Supremum 2 wäre ,das die “größte“ Zahl ,deren kleiner/gleich 2 ist, die 2 ist. Mich würde es interessieren ,warum es gier kein Inf und kein Sup gibt, genauso ,wie ich verstehen will, warum Wurzel 2 bei den Reelen Zahlen die kleinste obere Schranke ist. LG
23.05.2018, 13:09	makl	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: Ich glaube ich habs verstanden. Ich versuche es mal zu erklären, hoffe man kann mir sagen ,ob die gedanken richtig sind. Da wir im rationalen bereich sind ,gibt es keine zahl ,die im quadrat am nähesten bei der 2 ist bzw. gleich zwei ist. Deswegen gibt es kein Supremum. Bei den Reellen Zahlen sieht das anders aus. Da wurzel zwei im quadrat = 2 ergibt und genau gleich zwei ist (da unser intervall ja maximal bis 2 geht und alles darüber obere Schranken sind), ist das auch die kleinste obere Schranken. Richtig verstanden ?
24.03.2021, 12:47	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist doch Supremum, es gibt nur kein Maximum, da dass Supremum außerhalb der rationalen Zahlen liegt. Genauso beim Infimum- es gibt kein Minimum. Maximum und Minimum müssen angenommen werden, Supremum und Infimum dürfen Koexistieren- außerhalb der Menge.
25.04.2021, 00:12	gastlolll	Auf diesen Beitrag antworten »
√2 ist irrational, somit kann es bei den rationalen Zahlen nicht existieren, dadurch gibt es auch kein Supremum. Anders wäre es bei den reellen Zahlen
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