Skizze und Grenzwert gebrochenrationale Funktion gekürzt?

22.05.2018, 19:46	Philipp2706	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze und Grenzwert gebrochenrationale Funktion gekürzt? Hallo zusammen, ich habe eine eher allgemeine Frage. Beispielaufgabe: [attach]47239[/attach] Ich habe die Aufgabe mit der ungekürzten Funktion berechnet und denke dass es so richtig ist. (Grenzwert =1) Dann wollte ich den Funktionsgraphen zeichnen und habe dazu den Bruch in Linearfaktoren zerlegt, also: $\begin{eqnarray} \frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \end{eqnarray}$ Hier ist mir aufgefallen, dass ich dort eine hebbare Definitionslücke kürzen kann. Dann habe ich aber eine ganz andere Funktion mit anderem Grenzwert und anderem Graphen. Wann darf ich denn eine Variable aus einer gebrochenrationalen Funktion kürzen bei der Grenzwertberechnung? Und welchen Graph soll ich zeichnen? den gekürzten oder ungekürzten? Vielen Dank edit: ich bemerke grade, die Funktionsgraphen sind tatsächlich gleich. Das ist aber nicht immer der Fall oder?
22.05.2018, 22:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich sind sie das, sie unterscheiden sich doch nur durch die Definitionslücke. An den anderen Stellen ist das Kürzen völlig legitim und ändert, nach den Gesetzen der Bruchrechnung, den Wert nicht.
23.05.2018, 16:21	Philipp2706	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das mit der Zeichnnung und Definitionslücke kann ich jetzt nachvollziehen. Wenn eine Skizze verlangt ist, dann von der gekützten Funktion. Und man muss die behobene Definitionslücke im Graphen kennzeichnen. Ich habe meinen Professor gefragt und ich habe es so verstanden, dass man bei einer gebrochenrationalen Funktion am besten zuerst in Linearfaktoren zerlegt und kürzt und dann den Grenzwert berechnet. Der Grenzwert von der gekürzten Version ist allerdings anders als der Grenzwert der ungekürzten Version. $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x -> 3} f{} = \lim\limits_{x -> 3} {\frac{3x^2 - 12x + 9}{x^2 -9}} = 1 \end{eqnarray}$ (beidseitig) $\begin{eqnarray} \lim\limits_{x -> 3} f{}'= \lim\limits_{x -> 3}{\frac{(x-1)}{(x+3)}} = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ (beidseitig) Wann darf ich denn eine Variable aus einer gebrochenrationalen Funktion herauskürzen bei der Grenzwertberechnung? Oder ist es so, dass ich erst den Term kürzen muss und ab dann nur noch den gekürzten Term betrachten kann/muss. Der Grenzwert den ich dann herausbekomme ist ja der Grenzwert von f` und nicht von f. Das ist der Punkt den ich nicht wirklich verstehe.
23.05.2018, 16:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ist die gekürzte Version $\begin{eqnarray} \frac{3x^2-12x+9}{x^2-9} = \frac{{\color{red}3}(x-1)}{x+3} \end{eqnarray}$ . Kann es sein, dass dieser Faktor $\begin{eqnarray} {\color{red}3} \end{eqnarray}$ in deiner Rechnung irgendwo "verloren" gegangen ist?
23.05.2018, 16:36	Philipp2706	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man. Daran lag es Okay dann verstehe ich jetzt alles Danke euch!

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