Effektive Jahreszinsen auf Basis von Rückzahlbeträgen und deren Zinsen berechnen

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lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »
Effektive Jahreszinsen auf Basis von Rückzahlbeträgen und deren Zinsen berechnen
Ich habe eine grundsätzliche Frage zur Berechnung des effektiven Jahreszins. Das Prinzip kann man auf Wikipedia nachlesen.

Mich interessiert allerdings viel mehr wie man den Jahreszins berechnet bzw. wie man damit umgeht wenn der Rückzahlungszeitraum an einem beliebigen Tag im Jahr beginnt und an einem beliebigen Tag in einem anderen Jahr aufhört. Die Beispiele, die ich gefunden habe sind für die reale Anwendung irgendwie unterkomplex, sie gehen alle davon aus, dass man z.B. 12 Monate lang zurück zahlt und das immer vom ersten Monat bis zum letzten Monat des Jahres. Was aber wenn ich z.B. drei Monate lang im ersten Jahr zurück zahle und zwei Monate im zweiten Jahr? Insbesondere wenn die Rückzahlbeträge und die Zinsen auch noch variabel sein können (also man zahlt unterschiedlich hohe Beträge+Zinsen pro Monat zurück). Ich verstehe noch nicht wie ich alle Variablen berücksichtigen soll wenn mir Informationen fehlen, z.B. den genauen Zinsbetrag in Prozent.

Ein Beispiel (das ich mir gerade ausgedacht habe. Ich weiß nicht ob das Beispiel überhaupt Sinn macht):
Zitat:

Darlehen: 600€.
Bearbeitungsgebühr: 100€
Monatsraten: 5 (verteilt auf 2 Jahre)
Zins: nur der Zahlenwert ist bekannt, ein fester Prozentsatz ist nicht bekannt

Rückzahlung im 1. Monat (Jahr 1, Oktober):
Betrag: 100€
Zinsen: 50€
Rückzahlung im 2. Monat (Jahr 1, November):
Betrag: 110€
Zinsen: 40€
Rückzahlung im 3. Monat (Jahr 1, Dezember):
Betrag: 120€
Zinsen: 30€
Rückzahlung im 4. Monat (Jahr 2, Januar):
Betrag: 130€
Zinsen: 20€
Rückzahlung im 5. Monat (Jahr 2, Februar):
Betrag: 140€
Zinsen: 10€


Wie gesagt, ich weiß nicht ob das Beispiel so überhaupt Sinn macht, es geht eher um das Grundprinzip. Die Rückzahlungsbeträge können ja in der Theorie beliebig sein, genauso wie die Zinsen, oder nicht? Oder macht der effektive Jahreszins nur Sinn wenn der Zins immer gleich ist? Eigentlich müsste ich hier ja zwei Jahreszinssätze berechnen, einen für Jahr 1 und einen für Jahr 2 und diese dann mitteln. Nach der Formel von Wikipedia würde gelten:

Zitat:

Kreditkosten Jahr 1 = 50+40+30
Darlehensbetrag Jahr 1 = 100+110+120
eff. Jahreszins Jahr 1 = Kreditkosten Jahr 1 / Darlehensbetrag Jahr 1

Kreditkosten Jahr 2 = 20+10
Darlehensbetrag Jahr 2 = 130+140 = Darlehen-Darlehensbetrag Jahr 1
eff. Jahreszins Jahr 2 = Kreditkosten Jahr 2 / Darlehensbetrag Jahr 2


Die Summe der Rückzahlbeträge muss gleich wie der Darlehensbetrag sein. Die Kreditkosten sind die Zinsen + die Bearbeitungsgebühr. Aber wo Rechne ich hier jetzt die Bearbeitungsgebühr ein? Nur beim Darlehensbetrag von Jahr 1? Oder muss ich das auf alle Jahre aufteilen? Kann ich die obige Formel hier überhaupt anwenden? Grundsätzlich möchte ich eigentlich wissen wie man den eff. Jahreszins berechnet wenn ich eine Menge an Rückzahlungen habe, die aus dem Rückzahlbetrag und aus den Zinsen bestehen, damit könnte man es wohl zusammenfassen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein selbst konstruiertes Beispiel ist ein wenig seltsam, es widerspricht üblichen Annahmen:

Ich sehe dort einen konstanten Rückzahlungsbetrag von 150€ pro Monat. Wenn wir von einem derart konstanten Zahlungsbetrag pro Monat (Tilgung + Zinsen) sowie auch einem konstanten Zinssatz über die Kreditlaufzeit ausgehen, dann verhalten sich die Anteile "Tilgung vs. Zinsen" nicht derart linear, wie du es dir da vorstellst, sondern in dieser Weise nichtlinear:

https://de.wikipedia.org/wiki/Annuit%C3%A4tendarlehen
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir gar nicht aufgefallen, dass das Beispiel einem Annuitätendarlehen entspricht. Aber ändert das etwas an der Fragestellung? Ich kann den eff. Jahreszins ausrechnen (nach der Formel von Wikipedia):

Das macht ja soweit Sinn, aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich das dann auf die beiden Jahre aufteile und ob es einen Unterschied macht wenn die Tilgungsbeträge unterschiedlich sind.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lindwurm
Ich kann den eff. Jahreszins ausrechnen (nach der Formel von Wikipedia):

Nein, in dieser Rechnung hast du vergessen zu berücksichtigen, dass dein Rückzahlungszeitraum nur fünf Monate umfasst - deine Rechnung tut so, als wäre es ein ganzes Jahr gewesen.

P.S.: Übrigens die absoluten Wucherzinsen. Passt eher zum derzeitigen Venezuela oder anderen Ländern mit rasanter wirtschaftlicher Talfahrt.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

In der Formel auf Wikipedia steht

Um auf Monate umzurechnen. Da würde dann knapp 83% herauskommen. Noch mehr Wucherzinsen. Was bedeutet in der Formel eigentlich die +1?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lindwurm
Noch mehr Wucherzinsen.

Eben das meinte ich ja! Augenzwinkern
 
 
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich verstehe jetzt was mich verwirrt hat. Ich habe mir gedacht, dass man die Ratenzahlungen vom Jahresanfang an berechnen muss aber das macht keinen Sinn. Statt dessen muss man in Zeitabständen denken ab dem Zeitpunkt an dem der Kredit aufgenommen wurde. Das bedeutet in meinem Beispiel würde in fünf Monaten zurück gezahlt werden, ab dem Zeitpunkt der Kreditaufnahme. Dass ein paar Monate im nächsten Jahr sind spielt hier keine Rolle.

Es bleibt trotzdem noch die Frage übrig was die +1 aus der Formel von Wikipedia bedeutet. Das habe ich noch nicht verstanden. Das würde ja bedeutet, dass wenn ich 12 Monate lang zurück zahle am Schluss noch gerechnet werden müsste. Aber warum?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt verschieden Methoden zur Berechnung eines effektiven Zinses. Die Formel, die du der Wiki entnommen hast, ist die Formel für die sogenannte Uniformmethode. Sie steht aber dort falsch. Im Zähler muss 24 stehen. Eine korrekte Rechnung des Beispiels aus der Wiki steht hier:

https://www.juraforum.de/lexikon/effekti...Uniform-Methode

Die Formel erklärt sich so. Die Kosten geteilt durch die Kreditsumme werden linear mit der mittleren Laufzeit auf ein Jahr umgerechnet. Da nach einem Monat schon ein Teil des Kredits getilgt wird, ist die kürzeste Laufzeit 1 Monat. Die längste Laufzeit ist die nominale Laufzeit, da der letzte Teil des Kredits am Ende der nominalen Laufzeit getilgt wird. Die mittlere Laufzeit ist daher die Summe dieser beiden Zahlen geteilt durch 2. Diese Division durch 2 macht aus der 12 im Zähler eine 24.

Banken dürfen die Uniformmethode für die Angabe eines Effektivzinses schon lange nicht mehr benutzen. Sie müssen die Methode des internen Zinsfusses anwenden, die in der heutigen Computerzeit kein Problem bereitet.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das macht jetzt schon ein bisschen mehr Sinn. Den internen Zinsfuß habe ich mir auch schon angeguckt. Den wollte ich als nächstes ausrechnen.

Ich habe hier ein Beispiel gefunden aber ich bekomme nicht das erwartete Ergebnis:

Zitat:

Darlehen: 25510200€
Bearbeitungsgebühr: 510200€
Monatsraten: 12 (11*2562800€+1*2562950€=30753750€)


Das Beispiel sagt, dass der Jahreszins 48,3% ist aber ich komme nicht auf diesen Prozentsatz:



Habe ich jetzt die Formel falsch angewendet oder stimmt der angegebene Prozentsatz nicht (wobei nicht dabei steht auf welche Art und Weise der angegebene Jahreszins berechnet wurde)?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dir würde ich keinen Kredit aufnehmen. Du scheinst ein Faible für Wucherzinsen zu haben. Big Laugh

Mit der Methode des internen Zinsfusses kommt man auf den angegebenen effektiven Jahreszins.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Der interne Zinsfuss ist auch angegeben, aber der ist angegeben als 0.0334008783. Wenn ich den IRR ausrechne (z.B. hier: vindeep.com/Calculators/IRRCalculator.aspx) kommt 42.58%. Und wie kann man mit dem internen Zinsfuss den Jahreszins berechnen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lindwurm
Der interne Zinsfuss ist auch angegeben, aber der ist angegeben als 0.0334008783.

Das ist effektive Monatszins. Mit 1.0334^12=1.48327 kommt man zu dem effektiven Jahreszins.

Zitat:
Wenn ich den IRR ausrechne (z.B. hier: vindeep.com/Calculators/IRRCalculator.aspx) kommt 42.58%.

Der kommt zu demselben Ergebnis. Du musst für den "initial cash outflow" 25 Millionen eingeben. Zeitgleiche Ein- und Auszahlungen können bei dieser Methode saldiert werden. Das ist auch völlig logisch, wenn man die Methode verstanden hat. Der von dir verwendete Rechner bietet eh keine Möglichkeit, zeitgleiche Ein- und Auszahlungen separat einzugeben.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, das fällt mir jetzt an dem Datensatz erst auf, dass die Bearbeitungsgebühren hier schon beim cash outflow (das was ich als Darlehen identifiziert habe) mit eingerechnet sind. Ok, dann wäre das Missverständnis gelöst.

Damit habe ich natürlich die Formel von Wikipedia auch falsch angewendet. Allerdings bekomme ich mit dieser Formel immer noch einen anderen effektive Jahreszins:



Ist das Ergebnis hier jetzt korrekt aber durch die Anwendung einer anderen Formel kommt es schlicht zu einem anderen Ergebnis weil etwas anderes ausgerechnet wird?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der effektive Jahreszins nach unterschiedlichen Methoden berechnet ergibt unterschiedliche Ergebnisse. Sonst hätte man ja bei der einfachen Uniformmethode aus dem Vorcomputerzeitalter bleiben könnn.

Wenn ich mir die Beispiele zur Uniformmethode ansehe, war da deine vorige Rechnung korrekt.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann schaue ich mir jetzt an wie man den internen Zinsfuss berechnet wenn man damit den effektiven Monatszins wie auch den effektiven Jahreszins berechnen kann. Die englische Wikipedia zum IRR erklärt einen Algorithmus mit dem man es berechnen kann, wird allerdings alles ein wenig komplizierter. Mal schauen ob ich das hinbekomme.
lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bräuchte dann nochmal eure Hilfe. Ich habe versucht den IRR anhand der Methode aus Wikipedia zu berechnen (en.wikipedia.org/wiki/Internal_rate_of_return#Numerical_solution), allerdings bekomme ich nicht das korrekte Ergebnis heraus. Wahrscheinlich verstehe ich Notation mal wieder nicht. Die Formel von Wikipedia ist:


Die Notation macht für mich keinen Sinn wenn NPV eine Funktion ist. Das soll wohl lauten.


wobei dem Darlehen entspricht und , wobei den Monatsraten entspricht, die ich in meinem letzten Beitrag angegeben habe.

Implementiere ich diese Funktion liegen die beiden Initialwerte und (deren Berechnung ist ebenfalls auf Wikipedia angegeben) in der Nähe des IRR, der 0.0334008783 ist. Aber sind diese Initialwerte schon korrekt? Sollte einer von beiden nicht größer und der andere kleiner als der IRR sein? Ich komme z.B. auf:
Zitat:

n: 03 (12), r(02): 0.0333693217, r(01): 0.0323802870
n: 04 (12), r(03): 0.0000314156, r(02): 0.0333693217
n: 05 (12), r(04): 0.0333649857, r(03): 0.0000314156
n: 06 (12), r(05): 0.0000308003, r(04): 0.0333649857
n: 07 (12), r(06): 0.0333649858, r(05): 0.0000308003
n: 08 (12), r(07): 0.0000308001, r(06): 0.0333649858
n: 09 (12), r(08): 0.0333649860, r(07): 0.0000308001
n: 10 (12), r(09): 0.0000307999, r(08): 0.0333649860
n: 11 (12), r(10): 0.0333649862, r(09): 0.0000307999
n: 12 (12), r(11): 0.0000307998, r(10): 0.0333649862

Könnt ihr erkennen was dort falsch ist? Im Laufe der Zeit müssten sich die Werte ja an den IRR annähern, das tun sie hier aber nicht. Das Ergebnis sollte sein, wobei das natürlich komplett falsch ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lindwurm
Die Notation macht für mich keinen Sinn wenn NPV eine Funktion ist. Das soll wohl lauten.

Richtig. Aber weshalb sollte man nicht kurz nennen?

Zitat:
Implementiere ich diese Funktion liegen die beiden Initialwerte und (deren Berechnung ist ebenfalls auf Wikipedia angegeben) in der Nähe des IRR, der 0.0334008783 ist. Aber sind diese Initialwerte schon korrekt?

Das habe ich nicht nachgeprüft. Das Verfahren sollte auch mit etwas anderen Initialwerten funktionieren.

Zitat:
Sollte einer von beiden nicht größer und der andere kleiner als der IRR sein?

Das ist bei dem Sekantenverfahren nicht zwingend erforderlich.

Zitat:
Ich komme z.B. auf:
n: 03 (12), r(02): 0.0333693217, r(01): 0.0323802870
n: 04 (12), r(03): 0.0000314156, r(02): 0.0333693217

Was bei deiner Implementation schief gelaufen ist, kann ich nicht sagen. Ich komme auf





lindwurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich komme jetzt auch auf das richtige Ergebnis. Hatte einen Punkt-vor-Strich Rechenfehler in meinem Code. Ups
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