Wahrscheinlichkeitsverteilung der zweitkleinsten Zahl von n unabhängigen Zufallsvariablen

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Wahrscheinlichkeitsverteilung der zweitkleinsten Zahl von n unabhängigen Zufallsvariablen
Hallo,

ich habe folgendes Problem: gegeben sind identisch verteilte, voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion . Wie man auf die Verteilung des Minimums bzw. Maximums dieser Zahlen kommt weiß ich. Ich suche nun aber die Verteilung der -kleinsten (z.B. zweitkleinsten Zahl).

Mein Ansatz:

Es gibt Möglichkeiten aus Zahlen auszuwählen. Mit , einer Funktion die mir die -kleinste Zahl zurückliefert (weiß nicht wie man das sauber gut schreiben kann), wird vielleicht so etwas ähnliches wie



gesucht.

Offenbar habe ich hier Summen- und Dichtefunktion durcheinandergebracht. Ich erkenne aber nicht ganz wie ich das entwirren kann, offenbar ist es nicht so einfach wie bei den einfachen -Funktionen. Irgendwelche Tipps?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die -kleinste Zahl sein soll, dann bedeutet das, dass mindestens (!!!) der Zufallsgrößen sein müssen, und der Rest dann größer.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau der Zufallsgrößen sind, ist gleich , dementsprechend ist die von dir gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

,

was z.B. für zu der bekannten Verteilungsfunktion des Maximums führt. Bei "kleinen" wie etwa ist natürlich die alternative Darstellung



mit weniger Summanden vorzuziehen, das liefert dann auch die für bekannte Formel für das Minimum , und für entsprechend

.


Im Falle absolutstetiger X, d.h. mit existenter Dichte , kommt die Darstellung der zugehörigen Dichte übrigens ohne Summation aus:

.
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Hallo HAL 9000,

ok das "mindestens!" leuchtet mir jetzt ein! Also um zur Dichtefunktion zu kommen muss man (ist es zweckmäßig) zuerst die Summenfunktion durch Aufaddieren aller Möglichkeiten zu berechnen und diese Funktion dann zu differenzieren.

Habe das Aufaddieren selbst nicht durchschaut, aber jetzt scheint es klar zu sein. Danke soweit! Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Likelike
Habe das Aufaddieren selbst nicht durchschaut, aber jetzt scheint es klar zu sein.

Hmm, der Satz klingt in sich irgendwie widersprüchlich - ich gehe aber mal davon aus, dass nun der letztere Teil mit dem "klar sein" zutrifft. Falls es doch noch Probleme bei der Begründung der Formeln gibt, sei es Verteilungs- oder Dichtefunktion, dann sag Bescheid. Wink
Likelike Auf diesen Beitrag antworten »

OK war vielleicht schlecht formuliert. Ich meinte, dass nach deinen Erläuterungen für die Summenfunktion die Summe betrachtet werden muss, ich oben aber nur den einzelnen Summanden mit hingeschrieben habe. Das meinte ich mit "Aufaddieren" (der Wahrscheinlichkeiten der weiteren Fälle ).

Danke, falls was unklar ist, melde ich mich! Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der "sauberste" Weg zur Dichteformel ist es, einfach die obige Verteilungsfunktion abzuleiten, d.h. . Man muss dann noch etwas geschickt vereinfachen (Stichwort Teleskopsumme).


Man kann sie allerdings heuristisch auch so begründen: Für kleine ist ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der -kleinste Wert im Intervall liegt. Das bedeutet dann insbesondere auch, dass genau Werte kleiner als sind und Werte größer als . Jetzt haben wir Möglichkeiten zur Auswahl dieses -kleinsten Wert, dann anschließend noch Möglichkeiten zur Auswahl der Werte kleiner als . Für die Wahrscheinlichkeiten bedeutet dies dann



letzteres basierend auf sowie sowie , alles wie gesagt für kleine . Was letztlich auch zu der obigen Dichteformel führt. Wie gesagt heuristisch, man könnte das ganze auch sauberer unter Einsatz von Landau-Symbolen aufschreiben, aber da wir oben schon einen sauberen Weg über die Verteilungsfunktion haben, spare ich mir das hier. Augenzwinkern
 
 
Likelike Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Zusatzerläuterung. Ist für mich nachvollziehbar, allein hätt ich das so aber nicht hinschreiben können. Bin den Weg über die Ableitung der Summenfunktion gegangen. Augenzwinkern
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