Menge einer bilinearen Abbildung kein Untervektorraum

23.05.2018, 22:45	JanaLiz	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge einer bilinearen Abbildung kein Untervektorraum Meine Frage: Hallo Zusammen, beim Bearbeiten meiner Übungsaufgaben bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Es sei $\begin{eqnarray} P:\mathbb R^2 \times \mathbb R^2 --> \mathbb R^(2\times 3) \end{eqnarray}$ die durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 & x_1y_1 \\ x_2y_1 & x_2y_2 & x_2y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegebene bilineare Abbildung. i) Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \left\{P(x,y) \| x,y \in \mathbb R^2 \right\} \end{eqnarray}$ kein Untervektorraum ist. ii) Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \left\{(x,y)\in \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 \| P(x,y)= 0 \right\} \end{eqnarray}$ kein Untervektorraum ist. Meine Ideen: Ich weiß dass die Mengen mindestens eine der folgenden drei Dinge nicht erfüllen, sonst wären es ja Untervektorräume: 1) 0 ist Element der Menge 2) Die Menge ist bezüglich der Addition abgeschlossen 3) Die Menge ist bezüglich skalarer Multiplikation abgeschlossen Allerdings habe ich ja hier eine Paarung von der ich nur weiß, dass sie in beiden Komponenten linear ist (kurze dumme Zwischenfrage dazu: ich kann nicht davon ausgehen, dass jede bilineare Abbildung eine Bilinearform ist, da ich dafür ja immer die definierenden Eigenschaften prüfen muss, oder?) Jedenfalls habe ich die Vermutung dass ich über die gegebene Fundamentalmatrix argumentieren muss ... kann es sein´, dass die Menge schon kein Untervektorraum sein kann, weil die Fundamentalmatrix nicht quadratisch ist? Oder ist das die total falsche Richtung Danke für eure Mithilfe, ich verzweifle langsam daran -.-
27.05.2018, 12:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Bilder von $\begin{eqnarray} a=(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}),b=(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a+b=(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ , dann ist schon mal klar, dass $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nicht linear ist. Wäre das Bild von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ein Vektorraum, dann hätte $\begin{eqnarray} P(a)+P(b) \end{eqnarray}$ ein Urbild, das führt schnell zu einem Widerspruch. Noch leichter erkennt man $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}),(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})\in ker(P),(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})\notin ker(P) \end{eqnarray}$ In beiden Fällen (i) und (ii) ist also die Additivität verletzt.

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