Bernoulli-Kette: Bedingungen? unabhängig vs. identisch

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-Kette: Bedingungen? unabhängig vs. identisch
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich mit der Bernoulli-Kette und bin mir unsicher, was die Bedingungen angeht.

Ich weiß: Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment wenn es genau zwei Ergebnisse (Treffer/Nichttreffer) hat. Eine Bernoulli-Kette besteht aus mehreren Durchführungen eines Bernoulli-Experiments hintereinander.

Die Frage ist nun, was für diese Durchführungen gelten muss:

Eigentlich müsste es doch reichen, wenn die Durchführungen identisch sind. Damt ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht.

Bei mir steht aber, dass sie stochastisch unabhängig sein müssen.

Ich meine aus identisch folgt immer unabhängig, denn dafür muss gelten
Mit
B= im ersten Wurf rot
A= im zweiten Wurf nicht rot
folgt, dass = im ersten Wurf rot und im zweiten Wurf nicht rot.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dieselben, weil sich die rechte Seite über die Pfadregel beim Baumdiagramm ergibt.

Kann ich also allgemein sagen, dass die Forderung identisch nur eine stärkere Forderung als die der Unabhängigkeit ist?

Damit würden also zwei Bedingung reichen:
- genau zwei Ergebnisse möglich
- stochastisch unabhängig

Eine stärkere Forderung wäre
- genau zwei Ergebnisse möglich
- identisch

Was sagt ihr?

Vielen Dank smile
duude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Ich meine aus identisch folgt immer unabhängig

Nein: Betrachten wir direkt , dann haben wir identische Verteilung, aber alles andere als Unabhängigkeit, sondern das direkte Gegenteil - abhängiger geht nicht. Augenzwinkern

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Identisch heißt hier bei deinen Ereignissen: Identische Eintrittswahrscheinlichkeit.

Es sind sämtliche vier Kombinationen denkbar:

identisch und unabhängig
nicht identisch und unabhängig
identisch und abhängig
nicht identisch und abhängig

Es sind also vollkommen getrennte Charakterisierungen - keine folgt aus der anderen bzw. ist ein Spezialfall davon. unglücklich
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und vielen Dank erstmal für deine Antwort.

Ich blicke bei deiner Erklärung leider noch nicht ganz durch, aber versuche das mal so zu erklären, wie ich es verstanden habe:

Um jetzt zu überprüfen, ob meine Bernoullikette vorliegt, muss ich also testen ob

1) es nur zwei mögliche Ausgänge gibt
2) die Wahrscheinlichkeit p gleich bleibt (das ist das was ich bisher unter identisch verstanden hatte. Dieses Wort hat aber anscheinend einen andere Bedeutung..)
3) die Ereignisse unabhängig voneinander sind.

1) und 2) sind ja recht schnell zu überprüfen.

Für 3) muss ich nachrechnen, ob gilt

Damit besteht meine Frage aber immer noch: Folgt aus 2) nicht 3)?

Beispiel:
Mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,25 (rot= Erfolg) gilt:

B= im ersten Wurf rot
Also P(B)=0,25
A= im zweiten Wurf rot
Also P(A)=0,25
und
= im ersten Wurf rot und im zweiten Wurf rot.
Also

Zudem gilt
Wenn p gleich bleibt, funktioniert dies doch bei jedem beliebigem Beispiel.

Sehe ich das richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Damit besteht meine Frage aber immer noch: Folgt aus 2) nicht 3)?

Eigentlich habe ich die Frage bereits beantwortet, aber gut, nochmal (ein letztes Mal):

Du kannst z.B. nur ein Experiment durchführen, und dessen Versuchsausgang dann einfach kopieren, d.h. , dann ist . D.h., die Wahrscheinlichkeit ist dieselbe , aber sie sind nicht unabhängig.

Jetzt könntest du einwenden "ja kopieren, das macht man doch nicht...". Ja, und genau deshalb fordert man diese Unabhängigkeit, denn die bloße Forderung nach gleicher Wahrscheinlichkeit schließt ein solches Kopieren nicht aus.



Ein "realistischeres" Szenario: Es sollen 100 Versuche durchgeführt werden, unter solchen unabhängigen identischen Bedingungen. Um Geld zu sparen, führt man nur 80 durch und wählt zufällig 20 der bisherigen Ergebnisse aus und kopiert sie. Tja, damit hat man zwar identische Verteilung erreicht, aber eben keine Unabhängigkeit, womit die Versuchsbedingungen offenkundig verletzt sind.

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Oder nehmen wir ganz einfach "Ziehen ohne Zurücklegen": Ein Urne mit einer weißen und einer schwarzen Kugel, es wird zweimal gezogen ohne Zurücklegen.

.. erste Kugel ist schwarz

.. zweite Kugel ist schwarz

Es ist , aber beide sind nicht unabhängig, im Gegenteil: Hier ist und somit .
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich habe verstanden, dass unabhängig und identisch nicht auseinander folgen.

Der Hintergrund meiner Frage ist aber ja, wann eine Bernoulli-Kette vorliegt und dafür ist mir immer noch nicht klar, was ich eigentlich nachrechnen muss. Tut mir leid, dass ich das nicht so schnell verstehe...

"Definition (aus dem Buch): Ein Zufallsexperiment heißt Bernoullli-Experiment, wenn es genau zwei Ergebnisse hat. Eine Bernoulli-Kette besteht aus mehreren voneinander unabhängigen Durchführungen eines Bernoulli-Experiments. Die Anzahl der Durchführungen nennt man die Länge n der Bernoulli-Kette, die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit p bezeichnet."

Können wir mal ein Beispiel aus meinen Buch anschauen?

Aufgabe: Bei einer verbeulten Münze ist die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" 0,4. Sie wird dreimal geworfen und es wird jedes Mal notiert, ob "Zahl" erscheint. Begründen Sie, dass es sich dabei um eine Bernoulli-Kette handelt, und geben Sie ihre Länge sowie die Trefferwahrscheinlichkeit an."

Länge der Bernoulli-Kette: 3
Trefferwahrscheinlichkeit: p=0,4
Bernoulli-Kette: (hier liegt immer noch mein Problem, weil ich nicht genau weiß, was ich nachweisen soll) Aus der Definition kann ich das irgendwie nicht richtig herauslesen. Ich meine ich soll 1 - 3 nachweisen. Also
1) es gibt genau zwei Ergebnisse: "Zahl" und "nicht Zahl"
2) es ist immer dasselbe Bernoulli-Experiment (das war bei deinem "Ziehen ohne Zurücklegen" ja nicht so)
3) Die einzelnen Würfe müssen voneinander unabhängig sein.

Lösung des Buchs: "Die einzelnen Würfe sind voneinander unabhängig, da sich die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" nicht ändert. "

Ich "sehe" das auch, möchte es aber nachrechnen.
A.. Zahl im ersten Wurf
B.. Zahl im zweiten Wurf


Analoges gilt für Wurf 1 und 3 sowie Wurf 2 und 3.

Passt das so?
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