Die von A erzeugte Sigma-Algebra

25.05.2018, 12:10

ssuaG

Die von A erzeugte Sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Ich hab eine kleine Verständnisfrage bzgl. dieser Aufgabenstellung :

Gegeben seien folgende Teilmengen der nat.Zahlen
A1={1} , A2={3,4,5} , A3={5,6,7,...} , A4={2,5} , A5={4,5} .
Das Mengensystem A sei gegeben durch A={A1,A2,A3}.

Gilt A4 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Sigma(A) bzw. A5 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Sigma(A) für die von A erzeugte Sigma-Algebra von Sigma(A) ?

Lösung :

Es gilt A4 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Sigma(A) aber nicht für A5.

Meine Ideen:
Ich hätte umgekehrt gedacht, dass A5 Element von Sigma(A) ist und nicht A4.

Ich nehme an das A eine Sigma-Algebra über den nat.Zahlen ist.
Sigma(A)={leere Menge, $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,A1,A2,A3,A1^c,A2^c,A3^c,A1^c $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A2^c $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ A3^c, $\begin{eqnarray*} \bigcup Ai \end{eqnarray*}$ ...}

Ich weiß,dass man bei einer n elementigen Menge M dann bei Sigma(M) genau 2^(n + 1) Elemente hat.
Sei z.B M = {B,C} Sigma-Algebra über X. Dann ist Sigma(M)={leere Menge,X,B,C,B^c,C^c,{B $\begin{eqnarray*} \Cup \end{eqnarray*}$ C},{B^c $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ C^c}}

Vielleicht findet jemand kurz Zeit,um mir hier weiter zu helfen.
Ich würde mich sehr über Rückmeldungen freuen.

25.05.2018, 12:55

HAL 9000

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Grundsätzlich gilt: Sigma-Algebren mit einem endlichen Erzeugersystem wie hier sind auch selbst endlich.

Durch diverse Schnitte von Mengen bzw. Komplementärmengen des Erzeugersystems sieht man hier, dass die fünf Mengen

$\begin{eqnarray*} \{1\}, \{2\}, \{3,4\}, \{5\}, \{6,7,\ldots\} \end{eqnarray*}$

"unteilbare" Grundmengen dieser Sigma-Algebra sind, deren Vereinigung die Gesamtmenge der natürlichen Zahlen ist (ich gehe dabei von den natürlichen Zahlen ohne Null aus). D.h., alle Elemente der Sigma-Algebra sind Vereinigungen von 0 bis 5 dieser Mengen, so auch $\begin{eqnarray*} A_4 = \{2\} \cup \{5\} \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ gehört nicht dazu, da $\begin{eqnarray*} \{3,4\} \end{eqnarray*}$ unteilbar ist, d.h., mit 4 muss immer auch 3 zu einer Menge der Sigma-Algebra gehören, und umgekehrt. Insgesamt enthält $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ hier genau diese $\begin{eqnarray*} 2^5=32 \end{eqnarray*}$ Vereinigungsmengen.

Zitat:

Original von ssuaG
Ich weiß,dass man bei einer n elementigen Menge M dann bei Sigma(M) genau 2^(n + 1) Elemente hat.

Das stimmt i.a. nicht, da bist du einer falschen Analogie aufgesessen. Richtig ist allenfalls, dass die Mächtigkeit der Sigmaalgebra eine Zweierpotenz ist, deren Exponent aber nicht nur von der Anzahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ der Mengen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , sondern auch von deren Struktur abhängt.

Man kann Beispiele angeben, wo die Sigmaalgebra dann sogar $\begin{eqnarray*} 2^{2^n} \end{eqnarray*}$ Mengen enthält, das ist dann allerdings auch wirklich das Maximum.

25.05.2018, 15:16

ssuaG

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Hi HAL 9000 smile

Vielen herzlichen Dank für die schnelle und kompetente Antwort.

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