Integral mit Cauchy'scher Integralformel

26.05.2018, 14:34

forbin

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Integral mit Cauchy'scher Integralformel

Hallo Leute,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
[attach]47264[/attach]
Mir bereitet das ganze Kopfzerbrechen, deshalb benötige ich eure Hilfe.

Meine Ideen zu a)

Erstmal die Partialbruchzerlegung. Diese bringt mir:
$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z^{4}-1} = \frac{\frac{1}{4}}{z-1} + \frac{\frac{-1}{4}}{z+1} + \frac{\frac{-1}{2}z}{z^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Nun schaue ich mir mal den ersten Summanden der rechten Seite an.
Hier kann ich wählen:
$\begin{eqnarray*} U:=\mathbb C, f:U\mapsto \mathbb C \text{ mit } f(z)=\frac{1}{4}, B:=B_{a}(a),\overline{B}\in U,\xi = 1 \end{eqnarray*}$
Da f holomorph ist in U, kann ich die Cauchy'sche Integralformel anwenden.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{|z-a|=a}\frac{\frac{1}{4}}{z-1}dz = 2\pi\cdot i\cdot f(1) =\frac{\pi\cdot i}{2} \end{eqnarray*}$

Mit analoger Rechnung erfolgt für den zweiten Summanden das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi\cdot i}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ist das bisher so korrekt?

Der dritte Summand macht mir leider Probleme verwirrt

verwirrt

26.05.2018, 14:58

Leopold

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Beim zweiten Summanden Vorzeichenfehler. Der dritte Summand deiner Partialbruchzerlegung müßte $\begin{align*} - \frac{\frac{1}{2} z}{z^2 + 1} \end{align*}$ heißen. Und dann sind wir im Komplexen. Du kannst die Partialbruchzerlegung daher fortführen.

Beim zweiten Integral ist das Ergebnis 0. Beachte: -1 liegt nicht im Innern der Integrationskurve.

Bei Aufgabe b) würde ich einfach $\begin{align*} z = w+1 \end{align*}$ substituieren. Das ist nur eine Verschiebung in der komplexen Ebene. Wenn du die Kurve entsprechend anpaßt, ändert sich der Integralwert nicht. Im Zähler kannst du dann den binomischen Lehrsatz anwenden und den Bruch schließlich ausdividieren. Nur einer der Summanden trägt dann noch etwas zum Integralwert bei.

26.05.2018, 16:17

forbin

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Achja, $\begin{eqnarray*} |z-a|=a \end{eqnarray*}$ findet sich ja nur der rechten Halbebene der komplexen Ebene Hammer

Hammer

Deshalb ist der zweite Summan auch null. Und der dritte Summand ergibt nach PBZ $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-1}{4}}{z+i}+\frac{\frac{-1}{4}}{z-i} \end{eqnarray*}$ , diese ergeben also auch null. Richtig?

Und zu b)

Setze z=w+1.
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{|w|=1}(\frac{w+1}{w})^{n}dw = \int\limits_{|w|=1}\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}w^{k-n}dw = \int\limits_{|w|=1}\Big(\begin{pmatrix}n \\ 0\end{pmatrix} \frac{1}{w^{n}}+\begin{pmatrix}n \\ 1\end{pmatrix}+\frac{1}{w^{n-1}}+...+\begin{pmatrix}n \\ n-1\end{pmatrix} \frac{1}{w}+1\Big)dw \end{eqnarray*}$

Dies sind alles holomorphe Funktionen und damit ist das Integral insgesamt 0.

(Du hattest oben erwähnt, es bleibt ein relevanter Summand übrig. Daher fürchte ich, das meine Lösung falsch ist, aber ich sehe es nicht)

26.05.2018, 19:55

Leopold

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a) ist jetzt richtig gelöst. Die Umformung in b) stimmt.

Zitat:

Original von forbin
Dies sind alles holomorphe Funktionen und damit ist das Integral insgesamt 0.

Die Holomorphie genügt nicht für das Verschwinden eines Integrals über eine geschlossene Kurve. Mein Lösungsvorschlag bezieht sich auf den folgenden Sachverhalt: Wenn der Integrand eine Stammfunktion besitzt, dann verschwindet das Integral über eine geschlossene Kurve. Unter den Summanden gibt es aber den einschlägig bekannten Übeltäter. Im übrigen kannst du jeden Summanden auch mit der erweiterten Cauchyschen Integralformel behandeln. Dann bekommst du dasselbe Ergebnis.
Man kann die Lösung von b) natürlich auch ohne Substitution gleich mit der erweiterten Cauchyschen Integralformel bekommen.

26.05.2018, 20:26

forbin

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Zitat:

Original von Leopold
a) ist jetzt richtig gelöst. Die Umformung in b) stimmt.

Zitat:

Original von forbin
Dies sind alles holomorphe Funktionen und damit ist das Integral insgesamt 0.

Die Holomorphie genügt nicht für das Verschwinden eines Integrals über eine geschlossene Kurve. Mein Lösungsvorschlag bezieht sich auf den folgenden Sachverhalt: Wenn der Integrand eine Stammfunktion besitzt, dann verschwindet das Integral über eine geschlossene Kurve. Unter den Summanden gibt es aber den einschlägig bekannten Übeltäter. Im übrigen kannst du jeden Summanden auch mit der erweiterten Cauchyschen Integralformel behandeln. Dann bekommst du dasselbe Ergebnis.
Man kann die Lösung von b) natürlich auch ohne Substitution gleich mit der erweiterten Cauchyschen Integralformel bekommen.

Ah, der Übeltäter wird wohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{w} \end{eqnarray*}$ sein...
Aber ich tue mir aber gerade noch am Verständnis schwer. Die null liegt ja im Integrationsgebiet. Das heißt aber doch, dass keiner der Summanden dort holomorph ist, außer der 1. Oder? verwirrt

verwirrt

26.05.2018, 20:44

Leopold

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Es gibt kein Integrations"gebiet". Wir haben doch ein Kurvenintegral! Und über der Spur der Kurve sind alle Summanden holomorph. Allerdings besitzen nicht alle Summanden Stammfunktionen (darauf kommt es an!). Den Übeltäter hast du ausgemacht.

Du scheinst die Definition eines Kurvenintegrals zu verwechseln mit Voraussetzungen, die beim Cauchyschen Integralsatz gemacht werden, der eine hinreichende Bedingung nennt, wann das Integral über eine geschlossene Kurve verschwindet. Die Bedingung ist jedoch nicht notwendig. So gilt zum Beispiel

$\begin{align*} \int \limits_{|z|=1} \frac{\dd z}{z^2} = 0 \end{align*}$

obwohl sich im Kreisinnern die Singularität $\begin{align*} z=0 \end{align*}$ befindet. Aber $\begin{align*} f(z) = \frac{1}{z^2} \end{align*}$ besitzt in $\begin{align*} F(z) = - \frac{1}{z} \end{align*}$ eine Stammfunktion. Und das genügt für das Verschwinden des Integrals.

Hinweis: Beschäftige dich mit der erweiterten Cauchyschen Integralformel.

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27.05.2018, 13:15

forbin

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Danke, das hilft mir sehr.
Ich beschäftige mich nun weiter damit und poste gleich nochmal meine Lösung.
Allerdings habe ich noch eine Frage.
Folgende Defintion nehme ich:
[attach]47273[/attach]
Nun könnte ich also für die Summanden außer $\begin{eqnarray*} w^{-1} \end{eqnarray*}$ z.B. einen Kreisring wählen, in dem die Null nicht liegt, der aber $\begin{eqnarray*} |w|=1 \end{eqnarray*}$ enthält. Und damit darf ich dann den Satz entsprechend anwenden?

27.05.2018, 15:41

Leopold

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In deiner Überlegung muß ein Fehler stecken. Denn wenn du es für alle außer $\begin{align*} w^{-1} \end{align*}$ tun könntest, warum dann nicht auch für $\begin{align*} w^{-1} \end{align*}$ ? Beachte die Voraussetzungen des Satzes (nicht der "Definition").

27.05.2018, 15:53

forbin

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Du hast recht, das war unpassend formuliert.
Ich steige leider nicht dahinter, was mir diese Probleme macht unglücklich

unglücklich

Nehmen wir doch nochmal diesen Term:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{|w|=1}(\frac{w+1}{w})^{n}dw = \int\limits_{|w|=1}\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}w^{k-n}dw = \int\limits_{|w|=1}\Big(\begin{pmatrix}n \\ 0\end{pmatrix} \frac{1}{w^{n}}+\begin{pmatrix}n \\ 1\end{pmatrix}\frac{1}{w^{n-1}}+...+\begin{pmatrix}n \\ n-1\end{pmatrix} \frac{1}{w}+1\Big)dw \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^{-1} \end{eqnarray*}$ ist holomorph, aber hat keine Stammfunktion. Alle anderen Summanden sind holomorph und haben Stammfunktionen.
Also darf ich für diese den Integralsatz anwenden.

Ist das so?

Und $\begin{eqnarray*} \int\limits_{|w|=1}\frac{1}{w}dw \end{eqnarray*}$ kann ich ja mittels Parametrisierung lösen und erhalte $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$

27.05.2018, 16:53

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
$\begin{eqnarray*} w^{-1} \end{eqnarray*}$ ist holomorph, aber hat keine Stammfunktion. Alle anderen Summanden sind holomorph und haben Stammfunktionen.

Das ist richtig.

Zitat:

Original von forbin
Also darf ich für diese den Integralsatz anwenden.

Das ist nicht richtig. Die Voraussetzungen des Integralsatzes liegen nicht vor: $\begin{align*} \operatorname{int}(\gamma) \not \subset U \end{align*}$ .

Du verwendest stattdessen einen andern Satz:

Besitzt die holomorphe Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ im Gebiet $\begin{align*} G \end{align*}$ eine Stammfunktion $\begin{align*} F \end{align*}$ (man sagt auch: ist die Differentialform $\begin{align*} f(z) ~ \dd z \end{align*}$ exakt), dann hängt das Integral $\begin{align*} \int_{\gamma} f(z) ~ \dd z \end{align*}$ nur vom Anfangspunkt $\begin{align*} a \end{align*}$ und Endpunkt $\begin{align*} b \end{align*}$ eines Weges $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ in $\begin{align*} G \end{align*}$ ab:

$\begin{align*} \int_{\gamma} f(z) ~ \dd z \ = \ F(b) - F(a) \end{align*}$

Bei geschlossenen Kurven ( $\begin{align*} a=b \end{align*}$ ) verschwindet daher das Integral.

Der Satz ist das Analogon des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung aus dem Reellen.

Schon mehrfach habe ich geraten: Schau dir auch die erweiterte Cauchysche Integralformel für $\begin{align*} f^{(n)}(z) \end{align*}$ an.

27.05.2018, 17:08

forbin

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Oh man, ich danke dir wirklich vielmals.
Ich weiß, dass meine Fragen oft durcheinandergehen. Allerdings stelle ich sie hier so, wie ich sie mir selber stelle.
Ich werde mir das genauer anschauen.
Allerdings ist gerade die Luft raus. Ich werde mich aber wieder daransetzen, heute abend oder morgen. Wenn du mir dann nochmal helfen könntest, das wäre toll.
Jetzt schnappe ich ein bisschen Luft und setze mich dann erstmal an eine andere Aufgabe. Wahrscheinlich kommt auch dazu ein Thread Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.05.2018, 13:43

forbin

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So, nun habe ich gut geschlafen und mich sofort wieder an die Aufgabe gesetzt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{|w|=1}\frac{1}{w}dw = \int\limits_{\gamma}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt = 2\pi i \end{eqnarray*}$

So, mit diesem Ansatz bekomme ich die Aufgabe schonmal gelöst. Das ist schon was Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun möchte ich natürlich gerne den von dir angemahnten Tipp der erweiterten Formel anwenden.
Du hast mir den Link zu den Folgerungen geschickt.
Ich habe mich auch wirklich mit den Formeln beschäftigt und bin der Meinung, dass nur die Formel für die n-te Ableitung überhaupt in Betracht gezogen werden kann.
Aber ich finde dafür leider keinen Ansatz verwirrt

verwirrt

28.05.2018, 14:07

Leopold

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Ich verwende die Formel aus dem Link zum Wikipedia-Beitrag.

$\begin{align*} \zeta = w , \ f(w) = 1 , \ n = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 1 = \frac{0!}{2 \pi \operatorname{i}} \int \limits_{|w|=1} \frac{\dd w}{w} \ \ \Leftrightarrow \ \ \int \limits_{|w|=1} \frac{\dd w}{w} = 2 \pi \operatorname{i} \end{align*}$

Oder dieses:

$\begin{align*} \zeta = w , \ f(w) = 1 , \ n = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 = \frac{1!}{2 \pi \operatorname{i}} \int \limits_{|w|=1} \frac{\dd w}{w^2} \ \ \Leftrightarrow \ \ \int \limits_{|w|=1} \frac{\dd w}{w^2} = 0 \end{align*}$

Man erhält also dasselbe, wie wenn man das Integral mittels einer Stammfunktion berechnet.

Oder die ursprüngliche Aufgabe: $\begin{align*} \int \limits_{|z-1|=1} \frac{z^n}{(z-1)^n} ~ \dd z \end{align*}$

$\begin{align*} \zeta \end{align*}$ in der Formel heißt jetzt $\begin{align*} z \end{align*}$ , $\begin{align*} z \end{align*}$ in der Formel heißt jetzt $\begin{align*} 1 \end{align*}$ , ferner ist $\begin{align*} n \end{align*}$ durch $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ zu ersetzen, und es ist $\begin{align*} f(z) = z^n \end{align*}$ , also $\begin{align*} f^{(n-1)}(z) = n! \, z \end{align*}$

$\begin{align*} f^{(n-1)}(1) = \frac{(n-1)!}{2 \pi \operatorname{i}} \int \limits_{|z-1|=1} \frac{f(z)}{(z-1)^n} ~ \dd z \ \ \Leftrightarrow \ \ n! = \frac{(n-1)!}{2 \pi \operatorname{i}} \int \limits_{|z-1|=1} \frac{z^n}{(z-1)^n} ~ \dd z \ \ \Leftrightarrow \ \ \int \limits_{|z-1|=1} \frac{z^n}{(z-1)^n} ~ \dd z \ = \ 2 \pi \operatorname{i} n \end{align*}$

Und jetzt hoffe ich, daß bei den ganzen Umbenennungen nicht doch etwas noch verdreht ist ...

28.05.2018, 15:30

forbin

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Genial

Gott

Mit Zunge

Vielen Dank für die wirklich gute Erläuterung.
Mit diesem Ansatz würde ich wohl auch die Aufgabe c) verfolgen? Ich setze mich sofort daran Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: zu c)

Wähle ich einmal n=0, m=1, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{|z|=r}\frac{dz}{z-b} = 2\pi i \end{eqnarray*}$

Das selbe Ergebnis erhalte ich für n=1, m=0: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{|z|=r}\frac{dz}{z-a} = 2\pi i \end{eqnarray*}$

Gut, seien nun beide Parameter ungleich null.
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} 0 = f^{(k-1)}(a) = \frac{(k-1)!}{2\pi i}\int\limits_{|z|=r}\frac{dz}{(z-a)^{n+k-1}(z-b)^{m+k-1}} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} n_{1} := n+k-1 \text{ und } m_{1} = m+k-1 \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{(z-a)^{n_{1}}(z-b)^{m_{1}}} = 0 \end{eqnarray*}$

28.05.2018, 16:30

Leopold

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Also ich habe das herausbekommen:

$\begin{align*} \int \limits_{|z|=r} \frac{\dd z}{(z-a)^n (z-b)^m} \ = \ (-1)^{n-1} \cdot \frac{{{m+n-2} \choose {n-1}}}{(a-b)^{m+n-1}} \cdot 2 \pi \operatorname{i} \end{align*}$

Was ist in deiner Rechnung überhaupt das $\begin{align*} f \end{align*}$ ? Das hast du nicht angegeben. verwirrt

verwirrt

28.05.2018, 16:33

forbin

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Zitat:

Original von Leopold
Also ich habe das herausbekommen:

$\begin{align*} \int \limits_{|z|=r} \frac{\dd z}{(z-a)^n (z-b)^m} \ = \ (-1)^{n-1} \cdot \frac{{{m+n-2} \choose {n-1}}}{(a-b)^{m+n-1}} \cdot 2 \pi \operatorname{i} \end{align*}$

Was ist in deiner Rechnung überhaupt das $\begin{align*} f \end{align*}$ ? Das hast du nicht angegeben. verwirrt

verwirrt

Oh, sorry. Ich habe $\begin{eqnarray*} f(z) = 1 \end{eqnarray*}$ gewählt.

Edit: Was natürlich Unsinn ist... Ich setze mich nochmal daran

28.05.2018, 20:10

Leopold

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Im übrigen irritiert mich auch die Bedingung $\begin{align*} a<r<b \end{align*}$ der Aufgabe. Hier ist implizit vorausgesetzt, daß $\begin{align*} a,b \end{align*}$ reelle Zahlen sind. Mir fehlt jedoch die Beschränkung nach unten: $\begin{align*} 0<a<r<b \end{align*}$ . Ja, ich hätte noch eine ganz andere Vermutung, nämlich daß es eigentlich $\begin{align*} |a|<r<|b| \end{align*}$ heißen soll und $\begin{align*} a,b \end{align*}$ ansonsten beliebig komplex sein dürfen.

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