Konvergenzradius

29.05.2018, 15:10

Snexx_Math

Konvergenzradius

Hallo zusammen ,

Ich bekomme bei folgender Potenzreihe :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1} \cdot \frac{(2n)!}{(n+1)!}(x-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Den Konvergenzradius R=0 mittels umgekehrten Quotientenkriteriums heraus.

Allerdings sagt Wolfram-Alpha , dass R=1.

Wie kommt man darauf ? Wir hatten noch nie Konvergenzradien berechnen müssen deren Entwicklungspunkt ungleich 0 ist also immer nur x^n und nicht sowas wie (x-a)^n.

LG

Snexx_Math

29.05.2018, 15:21

HAL 9000

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Snexx_Math
Wir hatten noch nie Konvergenzradien berechnen müssen deren Entwicklungspunkt ungleich 0 ist

Das sind inhaltlich zwei völlig getrennte Dinge: Der Entwicklungspunkt ist nicht für den Konvergenzradius verantwortlich, und umgekehrt.

Konvergenzradius R=0 ist richtig, da scheinst du in Wolfram-Alpha was anderes einzugeben, z.B. $\begin{eqnarray*} 2*n! \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (2*n)! \end{eqnarray*}$ .

29.05.2018, 15:21

IfindU

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RE: Konvergenzradius
Dein Ergebnis stimmt. Hast du vielleicht bei Alpha vergessen oben die Klammer um die Fakultät zu setzen? Mit $\begin{eqnarray*} 2n! \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ ist der Konvergenzradius tatsächlich 1.

Edit: Da war HAL etwas schneller Big Laugh

29.05.2018, 19:13

Snexx_Math

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RE: Konvergenzradius
Da hattet ihr wohl beide recht. Hatte 2n! Nur Außen geklammert.

Also ist es egal welcher Entwicklungspunkt betrachtet wird ?

EDIT:
Habe nämlich gelesen, dass der Entwicklungspunkt den Konvergenzradius beeinflusst.

Hier: Einfluss des Entwicklungspunktes auf den Konvergenzradius :

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Danke

Snexx_Math

29.05.2018, 20:12

HAL 9000

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Missverständnis
Wenn man ein- und dieselbe Funktion an verschiedenen Stellen entwickelt - ja, dann kann man unterschiedliche Konvergenzradien haben, aber dann hat man ja auch verschiedene Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung, d.h., vom Entwicklungspunkt abhängige Koeffizíenten.

Wenn man aber die Potenzeihen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ mit ein- und denselben Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ aber unterschiedlichen Punkten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann sind deren Konvergenzradien jeweils gleich!!! Und darum geht es hier wirklich, und das habe ich gemeint. smile

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