Lagebeziehungen von Graphen berechnen (minimaler Abstand zweier Flugzeuge)

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Shingetsu18 Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehungen von Graphen berechnen (minimaler Abstand zweier Flugzeuge)
Meine Frage:
Hey, ich schreibe am Freitag eine Arbeit über Integrale. Leider kommt dort eine Aufgabe von der Thematik der Vektoren dran. Die Frage ist: Ein Flugzeug ist um 12:37 im Punkt A1 (3l-2l8). Zum gleichen Zeitpunkt ist ein zweites Flugzeug im Punkt B1(-1l2l5). Beide Flugzeug sind mit konstanten Geschwindigkeit geradlinig unterwegs. Drei Minuten später ist das erste Flugzeug im Punkt A2 (27l25l8). Nach einer weiteren Minute ist das zweite Flugzeug im Punkt B2 (27l26l7)

Die Fragen sind:

Mit welcher Geschwindigkeit sind die Flugzeuge unterwegs

Kann es zu einer Kollision kommen?

Und eine Geradengleichung für ein Flugzeug, welches parallel zum ersten Flugzeug fliegt.

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich den Schnittpunkt in der zweiten Aufgabe berechnen soll und in der dritten Aufgabe einfach von A1 die Werte dupliziere, bin mir aber aufgrund der verschiedenen Zeiten unsicher. Kann mir jemand helfen? Ich weiß nicht einmal, wie man das rechnet
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebeziehungen von Graphen berechnen Vektor
Zitat:
Original von Shingetsu18
Ich denke, dass ich den Schnittpunkt in der zweiten Aufgabe berechnen soll

Sofern es überhaupt einen Schnittpunkt gibt. Aber auch das wäre herauszufinden.
Wesentlicher Ansatz ist, daß du jede Flugbahn durch eine Geradengleichung beschreibst. Da du jeweils 2 Punkte der Flugbahnen kennst, sollte dies über die Punkt-Richtungsform der Geraden möglich sein.

Anmerkung am Rande: mit Integralen hat das jetzt aber gar nichts zu tun.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung wird wohl nicht benötigt, möglicherweise jedoch die Differentialrechnung zur Minimierung des Abstandes bei der zeitlichen Abhängigkeit der Standorte.
------------

Üblicherweise verlaufen die Bahnen der Flugzeuge so, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt (!) keine Kollision gibt.
Die Bahnen (die Geraden im Raum) könnten geometrisch durchaus einen Schnittpunkt haben, welcher jedoch nicht unbedingt relevant sein muss, da sich ja zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht beide Flugzeuge dort befinden müssen.
Denn der momentane Standort der Maschinen ist ja auch noch von der Zeit abhängig.

Die Bahnen (Luftkorridore) werden jedoch in der Praxis sicherheitshalber so angelegt, dass sie einander kreuzen, das heisst, es gibt keinen Schnittpunkt, wohl aber zwei Punkte, auf jeder Bahn einen, die voneinander den kürzesten Abstand haben.
Dieser kommt aber nur dann zum Tragen, wenn sich die beiden Flugzeuge in einem bestimmten Zeitpunkt zufällig auch in diesen beiden Punkten befinden.

Daher sind für die kürzeste Distanz der beiden Maschinen nicht nur die Gleichungen der beiden Geraden zu betrachten, sondern vielmehr die Standorte der Flugzeuge auf den Bahnen in Abhängigkeit von der Zeit.

Dies gelingt damit, indem als Richtungsvektoren der Geraden die Geschwindigkeitsvektoren (Vektoren des in 1 min zurückgelegten Weges) und als Parameter bei beiden die Zeit (in Minuten) eingeführt werden.
[Ab hier geht man bewusst davon ab, dass bei zwei Geradengleichungen normalerweise auch die beiden Parameter verschieden sein müssen.]

Übrigens sind die Einheiten nicht angegeben, sie werden aber höchstwahrscheinlich in km und min sein.
Nun kann aus den 3 Minuten des F1 und den 4 Minuten des F2 jeweils der Geschwindigkeitsvektor ermittelt werden. Deren Beträge sind die gesuchte Geschwindigkeiten.

Zuletzt wird die von der Zeit abhängige Distanz der beiden Flugzeuge als Funktion von ausgedrückt (Betrag des Distanzvektors) und mit Hilfe der Differentialrechnung minimiert.
Diese tatsächlich auftretende (minimale) Distanz muss größer oder höchstens gleich der starren (geometrischen) Distanz der beiden Flugbahnen sein.

Die Rechnung bestätigt dies nun auch (d_kreuzend = 5,321 km; d(t_min) = 5,735 km)
Du hast also beides zu berechnen!

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die Rechnung bestätigt dies nun auch (d_kreuzend = 5,321 km; d(t_min) = 5,735 km)

Hab mal nachgerechnet und komme vor allem bei der kreuzenden Entfernung auf einen deutlich kleineren Wert:

d_kreuzend = 0,6806 km

d(t_min) = 5,674 km bei t_min = 55,6 sec
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Du hast also beides zu berechnen!

Wieso das denn? In der Aufgabe ist doch gar nicht nach dem Abstand der Flugzeuge gefragt, oder übersehe ich etwas?
Nur, ob es überhaupt zu einer Kollision kommen kann. Und das kann es meiner Rechnung nach weder zu einem bestimmten Zeitpunkt als auch sonst, da die Geraden windschief sind? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für die Flugsicherheit ist nicht nur relevant, wenn sie sich exakt kreuzen, sondern auch, wenn sie sich gefährlich nahe kommen:

So ein Jet erzeugt schon eine enorme Wirbelschleppe.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn aber die Aufgabe so in einer Klausur vorkommt, glaube ich nicht, dass man das berechnen sollte, oder?
Ich zumindest bekomme ja alleine schon beim Aufstellen der HNF der Ebenen, die zu beiden Geraden senkrecht liegt, ziemlich blöde Werte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kääsee
Ich zumindest bekomme ja alleine schon beim Aufstellen der HNF der Ebenen, die zu beiden Geraden senkrecht liegt, ziemlich blöde Werte.

Da meinst du sicher parallel. Augenzwinkern

Der Normalenvektor dieser Ebene liegt zu den beiden Geraden senkrecht, nicht aber die zugehörige Ebene selbst.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Kääsee
Ich zumindest bekomme ja alleine schon beim Aufstellen der HNF der Ebenen, die zu beiden Geraden senkrecht liegt, ziemlich blöde Werte.

Da meinst du sicher parallel. Augenzwinkern

Der Normalenvektor dieser Ebene liegt zu den beiden Geraden senkrecht, nicht aber die zugehörige Ebene selbst.

Ja, upsi, klar. Also Vektorprodukt aufstellen meinte ich damit bzw. dieses normieren. Wird bei mir doof. Bei euch auch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal allgemein die Situation mit zwei Flugbahnen und mit 3D-Vektoren und Zeit durchgerechnet. Es kommt raus

sowie .

Aus der Aufgabenstellung kann man ablesen (sofern die Minutenanzahl nach 12:37 ist)

.

Der von dir angesprochene Normalenvektor folgt aus bzw. nach Normierung .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der kürzeste (geometrische) Abstand der beiden kreuzenden Geraden wird mittels der Formel



berechnet. Daher brauchst du keine Hilfsgeraden und auch keine Ebenen, es ist so wesentlich einfacher.
Den Normalvektor berechnet man vorteilhaft mit der Determinante



mY+

Edit: Den Fehler im Verlauf suche ich dann noch ...
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Der von dir angesprochene Normalenvektor folgt aus bzw. nach Normierung .

Ja genau, das hab ich auch und finde ich widerlich.
@mYthos, die Formeln kannte ich nicht, danke!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So, die beiden Fehler sind lokalisiert, hätte gleich ein CAS nehmen sollen, anstatt alles mit der Hand zu berechnen.

, das sind bei Weitem viel weniger als die beispielsweise erlaubten 3 NM (Nautische Meilen) = 5,56 km
Allerdings sind die Flugzeuge ja nicht gleichzeitig in den beiden Endpunkten des Gemeinlotes.

Auch beim tatsächlichen, zeitabhängigen Abstand hatte ich zu korrigieren, d(t_min) = 5,674 km (t = 0,938)

mY+
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