Pz in Q

29.05.2018, 22:53

georg2000

Pz in Q

Hallo die Angabe im Bild ,
Sei $\begin{eqnarray*} q =a/b \in Q \end{eqnarray*}$ ohne 0 .
$\begin{eqnarray*} a=sgn(a)*\prod_i p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=sgn(b)*\prod_j p_j^{\beta_j} \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} q=a/b=sgn(a/b)*\frac{\prod_i p_i^{\alpha_i}}{\prod_j p_j^{\beta_j}}=sgn(a/b)*\prod_i p_i^{\alpha_i}*\prod_j p_j^{-\beta_j}=sgn(a/b)\prod_{i,j} p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$

das sgn könnte ich als diese einheit setzen da a/b ja nicht 0 ist .
und der Exponent stammt für die Pz die a betreffen aus N und für b dann aus Z.
das wäre eine existenzdarstellung.

eindeutigkeit müsste ich annehmene s gäbe 2 darstellungen und bringe das dann zum Widerspruch .
also $\begin{eqnarray*} q=\epsilon_1\prod_{i} p_i^{\alpha_i}=\epsilon_2\prod_{k} p_k^{\beta_k} \end{eqnarray*}$
wobei ich mir denke die Darstellungen in N sind doch schon eindeutig daher sind es die von a und b auch , warum dann nicht von q?

30.05.2018, 07:31

tatmas

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Hallo,

ich sehe bei dir nirgendwo das t. Wo ist das hin?
Auch fehlt bei deinen sämtlichen Prodikten der Anfang.

Zitat:

wobei ich mir denke die Darstellungen in N sind doch schon eindeutig daher sind es die von a und b auch , warum dann nicht von q?

Mir fällt nicht ein warum es nicht ein soll ist kein Beweis.
"ist doch schon": Warum ist es das?
Schreib die zu zeigende Aussage richtig hin, und überleg dir was jeweils genau gezeigt werden soll.

30.05.2018, 07:53

georg2000

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ich habe gerade bemerkt ich habe mit $\begin{eqnarray*} b \in Z \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gerechnet .
okay dann nochmals ;
Für die Existenz ist zu zeigen mit $\begin{eqnarray*} a=sgn(a)*\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} b= \prod_{j=1}^r p_j^{\beta_j} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=\frac {a} {b} \end{eqnarray*}$
soll man zeigen q hat so eine Form wie im Bild .

dazu dann $\begin{eqnarray*} q=\frac {a} {b}=\frac {sgn(a)*\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}} {\prod_{j=1}^r p_j^{\beta_j}}=sgn(a)*\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}*\prod_{j=1}^r p_j^{-\beta_j} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \epsilon*\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$

hier habe ich die Primfaktoren der Zweiten Summe in die erste geholt welche durch den exponenten aus Z berücksichtigt werden können , bzw k+r=t gesetzt .

für die Eindeutigkeit :
Man muss zeigen die Form für q aus der Angabe ist Eindeutig , daher mit Widerspruch .
Angenommen es gäbe 2 Darstellungen die nicht gleich sind .
Dh $\begin{eqnarray*} q=\epsilon*\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}=\epsilon*\prod_{i=1}^t p_i^{\beta_i} \end{eqnarray*}$
wobei zumindest ein $\begin{eqnarray*} p_i ^{\alpha_i} \neq p_j^{\beta_j} \end{eqnarray*}$

30.05.2018, 08:07

tatmas

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Zitat:

rade bemerkt ich habe mit b∈Z statt N gerechnet .

das macht hier keinen Unterschied.

Zitat:

hier habe ich die Primfaktoren der Zweiten Summe in die erste geholt welche durch den exponenten aus Z berücksichtigt werden könne

Und wie? Du verwendest im letzten Produkt als Exponent $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ . Das ist aber was anderes als die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die vorher verwendet werden.

Zitat:

daher mit Widerspruch .

Nein, Widerspruch wozu?
Nimm 2 Darstellungen, zeige dass sie gleich sind. Kein Widerspruch nötig.

Die Darstellung von q ist charakterisiert durch:
- Das Vorzeichen
- Die Kette $\begin{eqnarray*} p_1 < \ldots < p_t \end{eqnarray*}$
- Die Exponenten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$

Deine zwei Darstellungen unterscheiden sich nur in Punkt 3

30.05.2018, 08:30

georg2000

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

rade bemerkt ich habe mit b∈Z statt N gerechnet .

das macht hier keinen Unterschied.

hast du recht ja !

Zitat:

hier habe ich die Primfaktoren der Zweiten Summe in die erste geholt welche durch den exponenten aus Z berücksichtigt werden könne

Und wie? Du verwendest im letzten Produkt als Exponent $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ . Das ist aber was anderes als die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die vorher verwendet werden.

vl hätte ich das $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ vorher anders bezeichnen sollen und dann je nach lage der Primfaktoren einen neuen exponentenindex $\begin{eqnarray*} \gamma_i \end{eqnarray*}$ einführen der sich so zusammensetzt:
ich habe mir gedacht :
falls: $\begin{eqnarray*} p_i=p_j \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} p_i^{\alpha_i}*p_j^{-\beta_j}=p_i^{\alpha_i-\beta_j} \end{eqnarray*}$
wobei dieser exponnent dann aus den ganzen zahlen Stammt , also hier $\begin{eqnarray*} \gamma_i=\alpha_i-\beta_j \end{eqnarray*}$
und wenn $\begin{eqnarray*} p_i \neq p_j \end{eqnarray*}$
dann sind die positiven $\begin{eqnarray*} \gamma_i=\alpha_i \end{eqnarray*}$ und die negativen $\begin{eqnarray*} \gamma_i=\beta_j \end{eqnarray*}$
in allen Fällen eine ganze Zahl .
falls $\begin{eqnarray*} \gamma_i=0 \end{eqnarray*}$ dann hat man ja 1 stehen im produkt das kann man ja verschwinden lassen .

Zitat:

daher mit Widerspruch .

ah okay dann muss ich nur zeigen dass wenn es zwei verschiedene Exponenten gäbe die dann gleich sind .

ich kann dann annehmen $\begin{eqnarray*} \epsilon*\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}=\epsilon*\prod_{i=1}^k p_i^{\beta_i} \end{eqnarray*}$
also dann $\begin{eqnarray*} 1=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-\beta_i} \end{eqnarray*}$
da aber jedes pi eine Primzahl ist und das Produkt nicht leer ist muss folgen $\begin{eqnarray*} \alpha_i-\beta_i=0 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \alpha_i=\beta_i \end{eqnarray*}$

30.05.2018, 08:46

tatmas

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Zitat:

vl hätte ich das ±i vorher anders bezeichnen sollen

Nicht nur vielleicht, ganz sicher.
Überladen von operatoren ist in der Mathematik noch gefährlicher als in der Informatik und man sollte das tunlichst vermeiden.

Zitat:

ah okay dann muss ich nur zeigen dass

Nein. Das Ding unterscheidet sich in 3 Punkten, nicht nur in einem.

30.05.2018, 09:05

georg2000

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

vl hätte ich das ±i vorher anders bezeichnen sollen

Nicht nur vielleicht, ganz sicher.
Überladen von operatoren ist in der Mathematik noch gefährlicher als in der Informatik und man sollte das tunlichst vermeiden.

Zitat:

ah okay dann muss ich nur zeigen dass

Nein. Das Ding unterscheidet sich in 3 Punkten, nicht nur in einem.

dh also die Existenz , unter Berücksichtigung der korrekten Bennenung der Exponentenindize, ist soweit in Ordnung?

kann ich die Punkte getrennt voneinander zeigen? oder muss ich konkret 2 Summen angeben die beide q sein sollen und aus denen alle 3 Punkte zugleich folgern ?

30.05.2018, 13:52

HAL 9000

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@georg

Du machst dir den Beweis nur unnötig schwer und bürokratisch, wenn du die Produkte jeweils über verschiedene Primzahlmengen laufen lässt. Nein, betrachte für alle hier relevanten Zahlen und deren Zerlegung/Faktorisierung jeweils dieselbe, ausreichend groß gewählte Primzahlmenge. Dann sind natürlich nicht mehr alle Exponenten $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ in den Primfaktorzerlegungen ganzer Zahlen, sondern "nur" noch $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , womit man aber gut leben kann.

Sprich: Man geht dann von

$\begin{eqnarray*} a=\operatorname{sgn}(a)\cdot \prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i},\quad b=\operatorname{sgn}(b)\cdot \prod_{i=1}^t p_i^{\beta_i},\quad c=\operatorname{sgn}(c)\cdot \prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i},\quad d=\operatorname{sgn}(d)\cdot \prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

mit nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha_i,\beta_i,\gamma_i,\delta_i \end{eqnarray*}$ aus, es geht also in allen vier Produkten um dieselben $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ . Nun kann man etwa was den Eindeutigkeitsbeweis betrifft, von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ ausgehend die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung der ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} ad=bc \end{eqnarray*}$ nutzen, d.h. links wie rechts hat man in dieser Gleichung dieselben Primzahlpotenzen stehen, was mit (*) dann $\begin{eqnarray*} \alpha_i+\delta_i=\beta_i+\gamma_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bedeutet...

30.05.2018, 17:06

georg2000

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Hallo und danke !
kann ich auch bei der Existenz so vorgehen : jeweils dieselbe, ausreichend groß gewählte Primzahlmenge zu verwenden?
bei $\begin{eqnarray*} \gamma_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta_i \end{eqnarray*}$ für die Exponenten von a und b
und die differenz dann $\begin{eqnarray*} \alpha_i=\gamma_i-\beta_i \end{eqnarray*}$ ist dann eine ganze Zahl.

30.05.2018, 17:21

HAL 9000

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Ja sicher, kannst du so machen (hmm ja, blöde Symbolkollision mit den $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ , so wie ich sie eingeführt habe).

30.05.2018, 20:55

georg2000

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okay alles klar dazu ,ich habe noch eine Frage dazu ,die direkt mit dieser zusammenhängt ;

Bestimmen Sie mit dieser Darstellung die gekürzte Bruchdarstellung von $\begin{eqnarray*} q \in Q / 0 \end{eqnarray*}$
Charakterisieren Sie, wann q eine ganze Zahl ist.

Eine ganze Zahl habe ich nur wenn der Zähler also b , a teilt .
dh wenn dessen Primfaktoren in a enthalten sind . dh wiederum wenn wir wieder die gleiche Primfaktormenge betrachten dann muss der Index $\begin{eqnarray*} \beta_i \le \alpha_i \end{eqnarray*}$ sein für alle i.

kürzen besagt doch wenn q=a/b dann muss der ggt (a,b) =1 sein .
dh der $\begin{eqnarray*} ggt(a,b)=\prod_i p_i^{min {\alpha_i ,\beta_i}}=1 \end{eqnarray*}$ und das ist nur der Fall wenn einer der Exponenten 0 ist.

wie kann man da rangehen ? SInd meine Ideen brauchbar?

30.05.2018, 21:14

HAL 9000

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Die Antwort liegt doch auf der Hand: Pack ausgehend von der vorliegenden Darstellung

$\begin{eqnarray*} q = \epsilon\cdot \prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$

alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i>0 \end{eqnarray*}$ in den Zähler $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , und alle $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i<0 \end{eqnarray*}$ in den Nenner $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ (dort natürlich als Potenz $\begin{eqnarray*} p_i^{|\alpha_i|} = p_i^{-\alpha_i} \end{eqnarray*}$ ).

Mit dieser Vorgehensweise ist zum einen gesichert, dass der richtige Bruch herauskommt, und zum anderen die Teilerfremdheit der solchermaßen definierten ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das Vorzeichen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kannst du natürlich unterbringen, wo du willst. Üblich ist eher der Zähler, aber das ist kein Muss.

30.05.2018, 22:15

georg2000

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ah stimmt !
Teilerfremd weil die pi mononton steigend sind und daher ist der Bruch gekürzt ,
die ganze Zahl hat man dann wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_i>0 \end{eqnarray*}$ oder?

30.05.2018, 22:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von georg2000
die ganze Zahl hat man dann wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_i>0 \end{eqnarray*}$ oder?

Präziser formuliert: Wenn alle $\begin{eqnarray*} \alpha_i\geq 0 \end{eqnarray*}$ sind. Dann landet nach der beschriebenen Prozedur auch nichts im Nenner, d.h., es bleibt dort $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ .

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