Integralformel? Residuensatz?

30.05.2018, 01:02	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralformel? Residuensatz? Hallo Leute, ich sitze an folgender Aufgabe: [attach]47311[/attach] Leider weiß ich gerade gar nicht, welchen Ansatz ich hier wählen sollte. Unsere Themen sind aktuell Cauchy'sche Integralformel/Integralsatz und Residuenssatz. ich weiß leider nicht, wie ich das in Zusammenhang bringen kann zu der Aufgabe. Wenn mich jemand nur in die richtige Richtung schubsen könnte, das wäre sehr nett
30.05.2018, 10:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]47312[/attach] Es gibt ein einfach zusammenhängendes Gebiet $\begin{align} G \end{align}$ (in der Figur gestrichelt umrandet), in dem $\begin{align} f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} \end{align}$ holomorph ist, so daß sowohl die Strecke $\begin{align} \gamma_1 \end{align}$ als auch die Kurve $\begin{align} \gamma_2 \end{align}$ Verbindungen von 0 nach 1 sind, die ganz in $\begin{align} G \end{align}$ verlaufen (die Kurve $\begin{align} \gamma_2 \end{align}$ läßt sich in $\begin{align} G \end{align}$ stetig auf die Strecke $\begin{align} \gamma_1 \end{align}$ zusammenziehen, Homotopiebegriff). Daher stimmen die Integralwerte überein: $\begin{align} \int \limits_{\gamma_2} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \ = \ \int \limits_{\gamma_1} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \ = \ \int \limits_0^1 \frac{\dd x}{x^2 + 1} \ = \ \arctan 1 \ = \ \frac{\pi}{4} \end{align}$ [attach]47313[/attach] Jetzt betrachte zum Beispiel den Kreisbogen $\begin{align} \gamma_3 \end{align}$ von 0 nach 1, der sich um $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ herumschlängelt. Ihn kannst du nicht auf $\begin{align} \gamma_1 \end{align}$ zusammenziehen, ohne an der Singularität $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ hängenzubleiben. Es ist aber $\begin{align} \gamma_3 - \gamma_1 \end{align}$ eine geschlossene Kurve, die sich einmal negativ orientiert um $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ herumwindet. Daher kannst du das Integral $\begin{align} \int \limits_{\gamma_3 - \gamma_1} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{align}$ mit einem der gängigen Sätze bestimmen, zum Beispiel dem Residuensatz. Es geht hier aber auch noch mittels Partialbruchzerlegung und Cauchyscher Integralformel, wie wir das neulich schon hatten: $\begin{align} \int \limits_{\gamma_3 - \gamma_1} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \ = \ \frac{1}{2 \operatorname{i}} \cdot \left( \ \ \underbrace{\int \limits_{\gamma_3 - \gamma_1} \frac{\dd z}{z - \operatorname{i}}}_{- 2 \pi \operatorname{i}} \ - \ \underbrace{\int \limits_{\gamma_3 - \gamma_1} \frac{\dd z}{z + \operatorname{i}}}_{0} \right) \ = \ - \pi \end{align}$ Daraus folgt (immer mit $\begin{align} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{align}$ unterm Integral): $\begin{align} - \pi = \int \limits_{\gamma_3 - \gamma_1} = \int \limits_{\gamma_3} - \int \limits_{\gamma_1} = - \frac{\pi}{4} + \int \limits_{\gamma_3} \end{align}$ $\begin{align} \int \limits_{\gamma_3} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \ = \ - \frac{3}{4} \pi \end{align}$ Jetzt betrachte noch weitere Fälle, wie sich die Kurve um $\begin{align} \pm \operatorname{i} \end{align}$ herumschlängeln kann.
31.05.2018, 15:19	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß leider nicht, wie ich es vernünftig zeichnen kann. Bisher hast du ja betrachtet, was passiert, wenn sich der Weg um i herumschlängelt. Das kann ich ja so übertragen auf -i. Aber ich könnte ja einen Weg finden, der sich um i und -i windet, wie eine Spirale. Ist es das, worauf du hinauswillst? Ich kann deinen Äußerungen zwar folgen, aber das große Ganze dieser Aufgabe sehe ich leider noch nicht...
31.05.2018, 17:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine beliebige Kurve $\begin{align} \gamma \end{align}$ , die in 0 beginnt und in 1 endet und natürlich $\begin{align} \pm \operatorname{i} \end{align}$ meidet. Dann ist $\begin{align} \gamma - \gamma_1 \end{align}$ ( $\begin{align} \gamma_1 \end{align}$ sei wieder die Strecke aus meinem ersten Beitrag) eine geschlossene Kurve, die sich ein paar Mal, vielleicht auch kein Mal, um $\begin{align} \operatorname{i} \end{align}$ oder um $\begin{align} - \operatorname{i} \end{align}$ positiv oder negativ orientiert herumwindet. Damit kannst du die möglichen Werte des Integrals $\begin{align} \int \limits_{\gamma - \gamma_1} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{align}$ berechnen. Gehe wie in meinem ersten Beitrag vor. Damit kannst du schließlich auch die möglichen Werte von $\begin{align} \int \limits_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{align}$ berechnen (siehe meinen ersten Beitrag).
31.05.2018, 21:36	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt verstehe ich, was mir die Aufgabe sagen will! Leopold, ich bin dir immer wieder dankbar für deine Unterstützungen
01.06.2018, 08:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]47324[/attach] Nur zur Übung kannst du dir ja einmal überlegen, wie das bei der dargestellten Kurve wäre.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »