Epsilon Delta Stetigkeit

30.05.2018, 16:07	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon Delta Stetigkeit Hey, Gegeben ist $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R , (x,y) \to \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ und sonst 0. Stetigkeit in allen Punkten außer (0,0) habe ich als Verknüpfung stetiger Polynome. Im Punkt (0,0) habe ich folgende Abschätzung gemacht: $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(0,0)\| = \|\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\|=\frac{\|x^2-y^2\|}{x^2+y^2}\leq \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1 \end{eqnarray}$ Ich habe also definitiv einen Sprung und somit keine Stetigkeit. Jetzt ist die Frage, wie kann ich das jetzt formal aufschreiben? Epsilon Delta oder Folgenkriterium.. Habe überlegt zu sagen: $\begin{eqnarray} \delta = \epsilon \end{eqnarray}$ , aber dann steheich irgendwie auf dem Schlauch, wie ich das jetzt aufschreibe.. Danke!
30.05.2018, 16:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abschätzung wie $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(0,0)\|~{\color{red}\leq}~1 \end{eqnarray}$ ist doch nicht tauglich, einen Sprung anzuzeigen - dazu hätte es schon sowas wie $\begin{eqnarray} \|f(x,y)-f(0,0)\|~{\color{red}\geq}~1 \end{eqnarray}$ bedurft.
30.05.2018, 16:45	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist was dran. Das heißt die Abschätzung war fürn Po.. Was kann ich denn da jetzt machen? Bin irgendwie gerade etwas ratlos..
30.05.2018, 16:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle einen speziellen Pfad zur Null hin, auf dem die Funktionswerte nicht gegen $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ konvergieren, die naheliegenden z.B. $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 \end{eqnarray}$ oder aber auch $\begin{eqnarray} \lim_{y\to 0} f(0,y) = \lim_{y\to 0} \frac{-y^2}{y^2} = -1 \end{eqnarray}$ genügen da vollkommen.
30.05.2018, 16:48	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Das heißt ich brauche da weder Epsilon Delta noch Folgenkriterium, sondern wähle y=0 fest und lasse x gegen 0 laufen. Da kommt nicht 0 raus, also kann es nicht stetig sein?

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