Poissonverteilung Erwartungswert

30.05.2018, 18:25

L0FF

Poissonverteilung Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo,

Nun ja ich stehe wieder vor einem kleinem Problem ich habe Ewartungswerte mir wieder angeschaut
und habe versucht diese auszurechnen. Anfangs war es noch relativ leicht auszurechnen doch bei komplexeren wurde es mir doch zu schwer ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Es geht darum: X ist eine Zufallsvariable die Poisson verteilt sein soll, also
wie berechne ich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} E[e^{uX}] \end{eqnarray*}$ und wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} E[\frac{1}{1+X}] = \frac{1}{\lambda } * (1-e^{-\lambda }) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe es versucht umzuformen, aber es kommt nichts vernünftiges raus.

Meine Ideen:
Im Buch stand man kann es mithilfe der Definition des Erwartungswertes berechnen.

Doch da steht leider kein konkretes Beispiel.

Wäre sehr lieb wenn jemand mir helfen könnte.

Viele Grüße
L0FF

30.05.2018, 18:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Für diskrete Zufallsgrößen gilt nicht nur $\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_k k\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ , sondern auch

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_k g(k)\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$

für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sofern der Erwartungswert überhaupt existiert. Die Summation erfolgt natürlich über alle Werte k, die die Zufallsgröße annehmen kann.

Beispiel: Mit $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ folgt damit dann

$\begin{eqnarray*} E\left[\frac{1}{1+X}\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{1+k}\cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ ,

und dann vereinfachen.

30.05.2018, 19:18

L0FF

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Poissonverteilung Erwartungswert
Hi
Danke für die Antwort.

okay ich habe es mal versucht zu machen stecke aber jetzt hier fest.

Soweit habe ich es

$\begin{eqnarray*} E\left[e^{uX}\right] = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } e^{uk} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * \frac{\lambda^{k} * e^{-\lambda } }{k!} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda }*\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(\lambda * e^{u})^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich ein Erwartungswert hier raus?

30.05.2018, 21:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von L0FF
$\begin{eqnarray*} E\left[e^{uX}\right] = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } e^{uk} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * \frac{\lambda^{k} * e^{-\lambda } }{k!} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda }*\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(\lambda * e^{u})^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots = e^{-\lambda }\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{z^k}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z:=\lambda\cdot e^u \end{eqnarray*}$ .

Schon mal die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion gesehen? Augenzwinkern

30.05.2018, 22:09

L0FF

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay also das macht man dann mit der Substitution
und dass ist ja wiederum $\begin{eqnarray*} e^{z} \end{eqnarray*}$
Dann ist es ja beim zweiten Fall so ähnlich auf diese From bringen und dann weiter umformen.

Danke sehr du hast mir sehr geholfen.

30.05.2018, 22:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, beim anderen Erwartungswert, den ich oben schon angefangen hatte: Erst Indexverschiebung, und dann wiederum Exponentialreihe!

$\begin{eqnarray*} E\left[\frac{1}{1+X}\right] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{k!} e^{-\lambda} = \frac{1}{\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \ldots \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Poissonverteilung Erwartungswert

Verwandte Themen