Gegebene Rekursionsgleichung durch eine explizite Darstellung (Induktion) beweisen

01.06.2018, 21:47

mathefuchs24

Gegebene Rekursionsgleichung durch eine explizite Darstellung (Induktion) beweisen

Meine Frage:
Hallo,

leider finde ich den Ansatz hier nicht.Hoffentlich kann mir jemand helfen!

Gegeben sei die Rekursionsgleichung

y(k+1) = 2*y(k)+3 mit y(1)=7

(alle Zahlen und Buchstaben in den Klammern befinden sich im Index!!)

a) Bestimmen Sie y(2), y(3), y(4), y(5)

b) Bestimmen Sie eine explizite (nicht rekursive) Darstellung und beweisen Sie diese. (Induktion)

Meine Ideen:
Aufgabenteil a) ist einfach, jedoch finde ich nicht die explizite Darstellung die man über die vollständige Induktion beweisen soll.

Bei Aufgabenteil a) habe ich somit für y(2)= 17
y(3)= 37
y(4)= 77
y(5)= 157

01.06.2018, 22:44

HAL 9000

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Addieren wir mal 3 zur Rekursionsgleichung: $\begin{eqnarray*} y(k+1)+3 = 2y(k)+6 = 2(y(k)+3) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man somit $\begin{eqnarray*} z(k)=y(k)+3 \end{eqnarray*}$ substituiert, dann hat man für die substituierte Folge die Rekursionsgleichung

$\begin{eqnarray*} z(k+1) = 2z(k) \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} z(1)=10 \end{eqnarray*}$ .

02.06.2018, 10:42

mathefuchs247

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Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.
Leider weiß ich nicht, wie ich nun z(k+1)=2z(k) mit der Induktion beweisen soll, dass das dasselbe ist wie 2y(k)+3.

Gibt es eine Möglichkeit die Rekursionsgleichung so umzuschreiben, dass man Fakultät in der neuen Formel findet?

Es ist ja ganz klar ein Muster bei der Gleichung zu erkennen: +10, +20, +40, +80.

Eine Substitution bringt mich da leider nicht weiter.

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, mathefuchs24 wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen

02.06.2018, 16:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathefuchs247
Leider weiß ich nicht, wie ich nun z(k+1)=2z(k) mit der Induktion beweisen soll, dass das dasselbe ist wie 2y(k)+3.

Du willst nachweisen, dass eine Gleichung (Rekursionsgleichung der substituierten Folge) dasselbe ist wie ein Term (der aus der Originalfolge gebastelt wurde)??? Absurd.

Zitat:

Original von mathefuchs247
Eine Substitution bringt mich da leider nicht weiter.

Ja denn ... wenn man die Lösung auf dem Silbertablett derart ablehnt, dann muss man sich eben anderweitig umsehen. Wink

02.06.2018, 18:13

mathefuchs247

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Das war aber eine magere Mist-Antwort von dir, Schade. Vielleicht beim nächsten mal.

Diese Mathematik schein wohl zu hoch für das "matheboard" zu sein.Bleibt bei euren Aufgaben mit Addition und Subtraktion.

Keinen schönen Abend wünsch ich dir.

02.06.2018, 18:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathefuchs247
Diese Mathematik schein wohl zu hoch für das "matheboard" zu sein.Bleibt bei euren Aufgaben mit Addition und Subtraktion.

Das trifft wohl eher auf dich zu: Wer nicht mal in der Lage ist, der Folge 10, 20, 40, 80, 160, ... eine Gesetzmäßigkeit abzulesen, oder auch nicht erkennt, dass z(k+1)=2z(k) zu einer geometrischen Folge gehört und stattdessen von hier komplett irrelevanten Fakultäten faselt, sollte nicht derart die Klappe aufreißen.

Zitat:

Original von mathefuchs247
Keinen schönen Abend wünsch ich dir.

Was kümmert es die stolze Eiche, wenn sich ein Borstenvieh an ihr reibt... Viel eher kann mir den Abend verderben, dass das Länderspiel AUT-GER momentan auf der Kippe steht. smile

02.06.2018, 19:22

mathefuchs247

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Selbstverständlich habe eine Gesetzmäßigkeit erkannt, jedoch brauche ich keine Substitution!!!

Ich brauche eine Formel in der Form y(k)= ...

Jedoch soll sich im Term ein k befinden.

Beispiel aus einer anderen Aufgabe:

Gegeben ist die Rekursionsgleichung

y(k+1)=[k+1]*y(k) y(1)=1 (Somit y(2)=2 , y(3)=6 , y(4)=24)

(Buchstaben und Zahlen in den runden Klammern im Index!)

Somit lautet die explizite Darstellung y(k+1)=[k+1]! -> Nun der Beweis über die vollst. Induktion

k=1 -> y(2)=2
2!=2

Anstoss 19:40 - Prost

02.06.2018, 19:39

HAL 9000

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Die genannte Substitution überführt deine Folge $\begin{eqnarray*} y(k) \end{eqnarray*}$ in eine geometrische Folge $\begin{eqnarray*} z(k) \end{eqnarray*}$ , von der man sehr, sehr leicht eine explizite Darstellung aufstellen kann. Und hat man die, dann hat man über die Rücksubstitution $\begin{eqnarray*} y(k)=z(k)-3 \end{eqnarray*}$ auch sofort eine explizite Darstellung der gesuchten Folge.

Angesichts dessen, dass dir anscheinend ja kein anderer Weg einfällt, auf eine explizite Darstellung zu kommen, halte ich es daher für ziemlich ignorant/arrogant, einfach mal so zu verkünden, keine Substitution zu brauchen - vielleicht einfach auch mal wirklich über die Tipps nachdenken, statt sie einfach wegzuwischen.

EDIT: Da der Threadersteller wohl nicht wieder auftaucht, hier noch ein paar Worte zur Threadbrundung. Die geometrische Folge

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} z(k+1) = 2z(k) \end{eqnarray*}$ mit Startwert $\begin{eqnarray*} z(1)=10 \end{eqnarray*}$ .

besitzt die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} z(k)=5\cdot 2^k \end{eqnarray*}$ , und damit die Originalfolge $\begin{eqnarray*} y(k)=5\cdot 2^k-3 \end{eqnarray*}$ . War das wirklich so schwer nach all der Vorrede?

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