Bedeutung von Eigenvektor und Eigenwert

02.06.2018, 17:35

AshmaN3D

Bedeutung von Eigenvektor und Eigenwert

Meine Frage:
Hallo,
$\begin{eqnarray*} M= \begin{pmatrix} 0,7 & 0,1\\ 0,3 & 0,9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Eigenwerte: $\begin{eqnarray*} /lambda 1 \end{eqnarray*}$ = 1 , $\begin{eqnarray*} /lambda 2 \end{eqnarray*}$ =0,6 Eigenvektor: zu $\begin{eqnarray*} /lambda 1 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und zu $\begin{eqnarray*} /lambda 2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es geht darum, dass in einer deutschen Stadt die Zulassung von Benzin und Dieselfahrzeugen sich verändert. 70% der Dieselfahrzeuge (D) bleiben oder werden durch selbiges ersetzt, 30% werde durch Benzinfahrzeuge (B) ersetzt. 90% von B bleibt und 10% werden durch D ersetzt. (Alles im Folgejahr) So hat sich auch meine Matrix gebildet. Nun hab ich als Aufgabe, meine Ergebnisse der Eigenwerte und Eigenvektoren in diesem Beispiel zu interpretieren. Was sagen mir EW und EV nun genau?
Grüße und Danke an alle Antworten!

PS. Der Startvektor ist 60.000 also am Anfang 60.000 D und 120.000 B.
120.000

Meine Ideen:
Meine Ideen:
Ich weiß nur, dass mir der EW sagt, um wie viel das System gestreckt wird. ALso ob es einen Zuwachs oder Abfall gibt.

03.06.2018, 10:58

Helferlein

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Du solltest Dir zunächst einmal überlegen, was der Vektor, den man rechts an die Matrix heranmultipliziert, im Sachzusammenhang bedeutet. Danach sollte es Dir leichter fallen, die Bedeutung der Eigenvektoren und des Eigenwertes zu erfassen.

Im übrigen hast Du mit dem User Ashman einen zweiten Account eingerichtet. Da mehrere Zugänge weder notwendig, noch erlaubt sind, löschen wir AshmaN3D in Kürze.

03.06.2018, 14:45

AshmaN3D

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Erstmal danke für die Antwort smile

Meinen Sie mit dem Vektor, um den ich mir Gedanken machen soll den Eigenvektor oder den Startvektor? Aber auch wenn ich mir um beide Gedanken mache, fällt mir nichts logisches zu ein...
Das war tatsächlich ungewollt, es würde mich freuen wenn dann lieber der Account Ashman gelöscht wird.

03.06.2018, 15:23

Helferlein

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Habs weitergegeben.

Was den Vektor angeht: Du hast es doch mit einem Übergangsprozeß zu tun. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} v_1=Mv_0 \end{eqnarray*}$ beschreibt einen Übergang von einem Zustand $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ in einen anderen Zustand $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ .

Was passiert nun, wenn Du für $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ einen Eigenvektor einsetzt?
Sind beide errechneten Eigenvektor für den Sachverhalt sinnvoll?

03.06.2018, 17:12

AshmaN3D

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Wenn ich für $\begin{eqnarray*} M*v_{0} \end{eqnarray*}$ den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetze, kommt wieder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus. Für den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ komme ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,6 \\ -0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das jetzt konkret für meinen Sachverhalt?

03.06.2018, 17:33

Helferlein

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Du bist bislang nur auf die Rechnung eingegangen. Der Zusammenhang zur Aufgabe ist Dir aber komplett unbekannt? Kann ich nicht recht glauben.

Also nochmal im Details: Wie bist Du zu den Werten in deiner Matrix gekommen? Warum in dieser Reihenfolge und nicht anders? Was wäre in deiner Aufgabe der Startvektor und wofür stehen seine Einträge?
Wenn Du das alles geklärt hast, solltest Du mir auch sagen können, wofür der von Dir erwähnter Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \binom{1}{3} \end{eqnarray*}$ steht und was es bedeutet, dass er auf sich selbst abgebildet wird.
Auch sollte dann klar sein, wieso der zweite Vektor für den Sachverhalt keine Rolle spielt.

03.06.2018, 19:22

AshmaN3D

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Also meine Matrix habe ich so gebildet, da 70% von D bei D bleiben (deshalb 0,7). 30% von D nach B gehen (0,3). 10% von B nach D gehen (0,1) und 90% bei B bleiben (0,9). Startvektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 60.000 \\120.000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Am Anfang gibt es also 60.000 Diesels und 120.000 Benziner.

Kleine Korrektur, beim 2. Eigenvektor hab ich die Vorzeichen vertauscht.

Er bildet sich selbst ab, da er ja der Eigenvektor von unserer Matrix ist oder wie? Und seine vielfachen ändern im Koordinatensystem auch nicht ihre Richtung, nur die Länge des Vektors. Aber ich verstehe den Sachzusammenhang irgendwie immer noch nicht... srry ich nerve bestimmt sehr, aber ich stehe gerade mega auf dem Schlauch und verzweifle gerade hierdran... trotz deiner Tipps

03.06.2018, 21:15

Helferlein

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Zitat:

Original von AshmaN3D
Startvektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 60.000 \\120.000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Am Anfang gibt es also 60.000 Diesels und 120.000 Benziner.

Also steht der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , für 1 Dieselfahrzeug und 3 Benziner. Da sich die Zahl der Autos aufgrund der Matrix nicht ändert, kannst Du diese Zahl hochrechnen, um die stabile Verteilung zu bekommen.
Ist mit dieser Erklärung klar, weshalb der zweite Eigenraum uninteressant ist?

03.06.2018, 22:00

AshmaN3D

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Daaaankeeschööön! smile

Jetzt hab ich es endlich verstanden. Ja, der zweite ist unwichtig, da es keine -1 Dieselfahrzeuge geben kann! Also kann man als Interpretation sagen, dass es für jeden Diesel 3 Benziner gibt. Mit hochrechnen meinst du da hoch^2 z.B. oder *2?

03.06.2018, 23:56

Helferlein

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Wenn Du die Werte potenzierst, hast Du doch gar keinen Eigenvektor mehr, beim multiplizieren schon.

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