Transposition Produkt einfacher Transpositionen

02.06.2018, 20:31	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Transposition Produkt einfacher Transpositionen Hallo zusammen, bei folgende Aufgabe ist mir die Aussage klar und auch, dass sie stimmt. Allerdings weiß ich nicht wie man sie beweisen würde. Es geht um Folgendes: Zeigen Sie, dass jede Transposition ein Produkt einfacher Transpositionen ist. Genauer, sei $\begin{eqnarray} k<l \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \sigma ^{k,l}= \sigma^{k,k+1} \cdot \sigma^{k+1,k+2} \cdot ... \cdot \sigma^{l-2,l-1} \cdot \sigma^{l-1,l} \cdot \sigma^{l-2,l-1} \cdot ... \cdot \sigma^{k+1,k+2} \cdot \sigma^{k,k+1} \end{eqnarray}$ Im Prosatext würde ich das denke noch hinbekommen, würde es aber gerne formaler machen. Danke für jede Hilfe. LG Snexx_Math
03.06.2018, 11:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transposition Produkt einfacher Transpositionen Behauptung: Jede Transposition ist das ein Produkt einfacher Transpositionen. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} k<l \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \sigma ^{k,l}= \sigma^{k,k+1} \circ \sigma^{k+1,k+2} \circ ... \circ \sigma^{l-2,l-1} \circ \sigma^{l-1,l} \circ \sigma^{l-2,l-1} \circ ... \circ \sigma^{k+1,k+2} \circ \sigma^{k,k+1} \end{eqnarray}$ qed Es steht doch schon alles da. Man schiebt $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ an die Stelle $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ an die Stelle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 2 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.06.2018, 14:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Technisch kann man es als Vollständige Induktion aufziehen, und zwar über den Abstand $\begin{eqnarray} d=l-k \end{eqnarray}$ : Induktionsanfang $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ sollte klar sein. Induktionsschritt $\begin{eqnarray} d\to d+1 \end{eqnarray}$ : Hier ist $\begin{eqnarray} l=k+d+1 \end{eqnarray}$ , und basierend auf $\begin{eqnarray} \sigma^{k,l} = \sigma^{k,k+1}\circ \sigma^{k+1,l}\circ \sigma^{k,k+1} \end{eqnarray}$ kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden...
03.06.2018, 20:39	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transposition Produkt einfacher Transpositionen Ok, danke. Dann werde ich das über die Induktion machen. Das von Elvis hätte icg nämlich sonst einfach nochmal in Sätzen formuliert. LG

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